Question

已知函數f(x)=

2

x

+alnx-2(a＞0)．
（1）若對于?x∈（0，+∞）都有f（x）＞2（a-1）成立，試求a的取值范圍；
（2）記g（x）=f（x）+x-b（b∈R）．當a=1時，函數g（x）在區(qū)間[e^-1，e]上恰有兩個零點，求實數b的取值范圍．

Answer 1

（1）f′(x)=-

2

x2

+

a

x

=

ax-2

x2

，由f′（x）＞0解得x＞

2

a

，
由f′（x）＜0得0＜x＜

2

a

∴f（x）在區(qū)間(

2

a

，+∞)上單調遞增，在區(qū)間(0，

2

a

)上單調遞減
∴當x=

2

a

時，函數f（x）取得最小值ymin=a+aln

2

a

-2
由于對于?x∈（0，+∞）都有f（x）＞2（a-1）成立，
所以a+aln

2

a

-2＞2(a-1)
解得0＜a＜

2

e

，故a的取值范圍是(0，

2

e

)
（2）依題意得g(x)=

2

x

+lnx+x-2-b，則g′(x)=

x2+x-2

x2

由g′（x）＞0解得x＞1；由g′（x）＜0解得0＜x＜1
所以g（x）在區(qū)間（0，1）上為減函數，在區(qū)間（1，+∞）上為增函數．
又因為函數g（x）在區(qū)間[e^-1，e]上有兩個零點，
所以

g(e-1)≥0 g(e)≥0 g(1)＜0

解得1＜b≤

2

e

+e-1，
所以b的取值范圍是(1，

2

e

+e-1]．