Question

如圖，已知多面體EABCDF的底面ABCD是正方形，EA⊥底面ABCD，F(xiàn)D∥EA，且EA=2FD．
（Ⅰ）求證：CB⊥平面ABE；
（Ⅱ）連接AC，BD交于點(diǎn)O，取EC中點(diǎn)G．證明：FG∥平面ABCD；
（Ⅲ）若EA=AB，求異面直線FC，BD所成的角的正弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面平行的判定,異面直線及其所成的角,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（I）利用正方形的性質(zhì)、線面垂直的判定和性質(zhì)定理即可得出；
（II）利用三角形的中位線定理、平行四邊形的判定與性質(zhì)定理、線面平行的判定定理即可得出；
（III）取EA的中點(diǎn)H，連接BH，DH，F(xiàn)H．可得四邊形ADFH為平行四邊形，四邊形BHFC也是平行四邊形．可得CF∥BH．于是∠DBH或其補(bǔ)角即為異面直線FC，BD所成角，再利用勾股定理和直角三角形的邊角關(guān)系即可得出．

解答： （I）證明：∵EA⊥底面ABCD，且BC?面ABCD，
∴EA⊥BC．
正方形ABCD 中，AB⊥BC，EA∩AB=A，
∴CB⊥平面ABE．
（Ⅱ）證明：連接線段OG．
在三角形AEC中，∵EG=GC，AO=OC，
∴中位線OG∥AE，且AE=2OG
∵EA=2FD，且EA∥DF，
∴OG∥DF且OG=DF，
∴平面四邊形DOGF為平行四邊形，
∴FG∥OD，
又∴FG?ABCD，OD?ABCD，
∴FG∥面ABCD．
（3）解：取EA的中點(diǎn)H，連接BH，DH，F(xiàn)H．
可得四邊形ADFH為平行四邊形，因此四邊形BHFC也是平行四邊形．
∴CF∥BH．
則∠DBH或其補(bǔ)角即為異面直線FC，BD所成角，
設(shè)EA=AB=2，則BD=2

2

，BH=

BA2+AH2

=

5

，同理DH=

5

，
連接HO，則∠HBO即為所求角，sin∠DBH=

HO

HB

=

3

5

=

15

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了正方形的性質(zhì)、線面垂直與平行的判定和性質(zhì)定理、三角形的中位線定理、平行四邊形的判定與性質(zhì)定理、異面直線所成角、勾股定理和直角三角形的邊角關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，考查了輔助線的作法，考查了空間想象能力，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于難題．