已知函數(shù)f(x)=
2x
x+2
，數(shù)列{an}滿足：a1=
4
3
，an+1=f(an).
（1）求證數(shù)列{
1
an
}為等差數(shù)列，并求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）記Sn=a1a2+a2a3+…+anan+1，求證：Sn＜
8
3
.
分析：（1）根據(jù)an+1=f（an）．整理得
1
an+1
-
1
an
=
1
2
.進(jìn)而可推斷{
1
an
]成等差數(shù)列．最后根等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求得數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．
（2）首先對數(shù)列anan+1的通項(xiàng)公式進(jìn)行裂項(xiàng)，進(jìn)而疊加求得Sn=8(
1
3
-
1
2n+3
)．根據(jù)
1
3
-
1
2n+3
＜ 
1
3
進(jìn)而可推斷Sn＜
8
3
解答：解：（1）∵an+1=f(an)=
2an
an+2
，
∴
1
an+1
=
1
an
+
1
2
，即
1
an+1
-
1
an
=
1
2
.
∴{
1
an
]成等差數(shù)列．
∴
1
an
=
1
a1
+(n+1)×
1
2
=
3
4
+(n-1)×
1
2
=
2n+1
4
.即an=
4
2n+1
.
（2）∵anan+1=
4
2n+1
•
4
2n+3
=8(
1
2n+1
-
1
2n+3
)，
∴Sn=a1a2+a2a3++anan-1=8(
1
3
-
1
5
+
1
5
-
1
7
++
1
2n+1
-
1
2n+3
)=8(
1
3
-
1
2n+3
)＜
8
3
.
點(diǎn)評：本題主要考查了數(shù)列的遞推式，對于分母是數(shù)列相鄰兩項(xiàng)構(gòu)成的數(shù)列，�？捎昧秧�(xiàng)法求和．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
2-xx+1
；
（1）求出函數(shù)f（x）的對稱中心；
（2）證明：函數(shù)f（x）在（-1，+∞）上為減函數(shù)；
（3）是否存在負(fù)數(shù)x0，使得f(x0)=3x0成立，若存在求出x0；若不存在，請說明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
2-x-1，x≤0
x
，x＞0
，則f[f（-2）]=
3
3
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=2(sin2x+
3
2
)cosx-sin3x
（1）求函數(shù)f（x）的值域和最小正周期；
（2）當(dāng)x∈[0，2π]時(shí)，求使f(x)=
3
成立的x的值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=2-
ax+1
(a∈R)的圖象過點(diǎn)（4，-1）
（1）求a的值；
（2）求證：f（x）在其定義域上有且只有一個(gè)零點(diǎn)；
（3）若f（x）+mx＞1對一切的正實(shí)數(shù)x均成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
2-2cosx
+
2-2cos(
2π
3
-x)
，x∈[0，2π]，則當(dāng)x=
4π
3
4π
3
時(shí)，函數(shù)f（x）有最大值，最大值為
2
3
2
3
．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案