Question

函數(shù)f（x）=

ax2               x≥0 (a2-1)eax    x＜0

在（-∞，+∞）上是單調(diào)函數(shù)的必要不充分條件是（　�。�

A．a≤-3或 3 2 ≤a≤3	B．a≤1或a≥ 3
C．a≤-1或a≥ 3 2	D．a≤- 3 或1≤a≤3

Answer 1

函數(shù)f（x）=

ax2               x≥0 (a2-1)eax    x＜0

，為分段函數(shù)，
（1）當(dāng)函數(shù)f（x）=

ax2               x≥0 (a2-1)eax    x＜0

在（-∞，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)時，
當(dāng)x≥0時，y=ax²為二次函數(shù)，圖象是對稱軸為y軸的拋物線，它為增函數(shù)時，有a＞0；
當(dāng)x＜0時，f（x）=（a²-1）e^ax是增函數(shù)，它的導(dǎo)函數(shù)為f′（x）=a（a²-1）e^ax，
令f′（x）≥0得-1≤a≤0或a≥1，且（a²-1）e⁰≤0即-1≤a≤1，
∴綜合得a=1；
（2）當(dāng)函數(shù)f（x）=

ax2               x≥0 (a2-1)eax    x＜0

在（-∞，+∞）上是單調(diào)減函數(shù)時，
當(dāng)x≥0時，y=ax²為二次函數(shù)，圖象是對稱軸為y軸的拋物線，它為減函數(shù)時，有a＜0；
當(dāng)x＜0時，f（x）=（a²-1）e^ax是減函數(shù)，它的導(dǎo)函數(shù)為f′（x）=a（a²-1）e^ax，
令f′（x）≤0得
0≤a≤1或a≤-1，
且（a²-1）e⁰≥0即a≤-1或a≥1，
∴綜合得a≤-1．
綜上所述，函數(shù)f（x）=

ax2               x≥0 (a2-1)eax    x＜0

在（-∞，+∞）上是單調(diào)函數(shù)的充要條件是a≤-1或a=1，
∵選項D：“a≤-

3

或1≤a≤3”?a≤-1或a=1，反之不成立．
∴選項D：“a≤-

3

或1≤a≤3”是“f（x）在R上單調(diào)遞增”的必要不充分條件．
故選D．