Question

已知軸對稱平面五邊形（如圖1），為對稱軸，，，，將此圖形沿折疊成直二面角，連接、得到幾何體（如圖2）．

（Ⅰ）證明：∥平面；     

（Ⅱ）求二面角的余弦值．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）主要利用空間向量、線線平行可證線面平行；（Ⅱ）主要利用平面的法向量來求二面角的平面角.

試題解析：（Ⅰ）以B為坐標(biāo)原點，分別以射線BF、BC、BA為x軸、 y軸、z軸的正方向建立如圖所示的坐標(biāo)系.

由已知與平面幾何知識得，，

∴，

∴，∴AF∥DE，

又平面，且平面 

∴∥平面 

（Ⅱ）由（Ⅰ）得四點共面，，

設(shè)平面，，則，

不妨令，故，

由已知易得平面ABCD的一個法向量為，

∴，∴二面角E-AD-B的余弦值為．

考點：立體幾何線面平行的證明、二面角的求解，考查學(xué)生的空間想象能力和空間向量的使用.