Question

（2012•安徽模擬）已知軸對(duì)稱平面五邊形ADCEF（如圖1），BC為對(duì)稱軸，ADCD，AD=AB=1，CD=BC=

3

，將此圖形沿BC折疊成直二面角，連接AF、DE得到幾何體（如
圖2）
（1）證明：AF∥平面DEC；
（2）求二面角E-AD-B的正切值．

Answer 1

分析：（1）先以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以射線BF、BC、BA為x軸、y軸、z軸的正方向建立如圖所示的坐標(biāo)系．求出各點(diǎn)坐標(biāo)以及

AF

和

DE

的坐標(biāo)，進(jìn)而得到兩向量共線，即可證明線面平行．
（2）先根據(jù)條件求出兩個(gè)半平面的法向量的坐標(biāo)，進(jìn)而求出二面角E-AD-B的余弦值，再結(jié)合同角三角函數(shù)之間的關(guān)系即可求出結(jié)論．

解答：解：（1）以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以射線BF、BC、BA為x軸、y軸、z軸的正方向建立如圖所示的坐標(biāo)系．
由已知與平面幾何知識(shí)得，
A（0，0，1），F(xiàn)（1，0，0），D（0，

3

2

，

3

2

），E（

3

2

，

3

2

，0），
∴

AF

=（1，0，-1），

DE

=（

3

2

，0，-

3

2

），
∴

AF

=

2

3

DE

，∴AF∥DE，
又DE在平面DCE內(nèi)，AF不在平面DEC內(nèi)，
∴AF∥平面DEC…（6分）
（2）由（1）得A，D，E，F(xiàn)四點(diǎn)共面，

AF

=（1，0，-1），AD=（0，

3

2

，

1

2

），
設(shè)

n

垂直于平面ADEF，

n

=（x，y，z），則

(1，0，-1)•(x，y，z)=0 (0， 3 2 ， 1 2 )•(x，y，z)=0

⇒

x-z=0 3 y+z=0

，
不妨令y=-1，故

n

=（

3

，-1，

3

），
由已知得平面ABCD的一個(gè)法向量為

m

=（1，0，0），
∴cos＜

n

，

m

＞=

n • m

| n |•| m |

=

3

3+1+3 ×1

=

3

7

=

21

7

，
設(shè)二面角E-AD-B的平面角為α
∴tanα=

1-cos 2α cos 2α

=

1- 21 49 21 49

=

2 3

3

．
∴二面角E-AD-B的正切值為

2 3

3

．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考察用空間向量求平面間的夾角以及線面平行的證明．一般在證明線面平行時(shí)，常轉(zhuǎn)化為證明線線平行．