Question

設(shè)函數(shù)f（x）=2x³-12x+c是定義在R上的奇函數(shù)．
（Ⅰ）求c的值及函數(shù)f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線(xiàn)方程；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間，并求函數(shù)f（x）在[-1，3]上的最大值和最小值．

Answer 1

解：（Ⅰ）因?yàn)閒（x）為奇函數(shù)，所以f（-x）=-f（x）．
即-2x³+12x+c=-2x³+12x-c．解得c=0．
因?yàn)閒'（x）=6x²-12，所以切線(xiàn)的斜率k=f'（1）=-6

因?yàn)閒（1）=-10，所以切點(diǎn)為（1，-10）．
所以切線(xiàn)方程為y+10=-6（x-1）．
即6x+y+4=0．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f'（x）=6x²-12．
所以．
列表如下：

x
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	極大值	↘	極小值	↗

…（11分）
所以函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間是和．
因?yàn)閒（-1）=10，，f（3）=18．
所以f（x）在[-1，3]上的最大值是f（3）=18，最小值是．

分析：（Ⅰ）因?yàn)閒（x）為奇函數(shù)，所以f（-x）=-f（x），可以解得c=0，從而f'（x）=6x²-12，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求出點(diǎn)（1，f（1））處的切線(xiàn)方程為6x+y+4=0；
（Ⅱ）解不等式6x²-12＞0，即可求出函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)，將函數(shù)f（x）在[-1，3]上的極值與區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值加以比較，即可得出函數(shù)的最大值和最小值．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性、極值與其導(dǎo)函數(shù)之間的關(guān)系，屬于難題．導(dǎo)數(shù)是高等數(shù)學(xué)下放到高中的內(nèi)容，是高考的熱點(diǎn)問(wèn)題，每年必考，要給予充分重視．