Question

如圖，在直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，平面ABC⊥側面A₁ABB₁．

(Ⅰ)求證：AB⊥BC；

(Ⅱ)若直線AC與平面A₁BC所成的角為θ，二面角A₁－BC－A的大小為φ的大小關系，并予以證明．

Answer 1

答案：
解析：

(Ⅰ)證明：如下圖，過點A在平面A1ABB1內(nèi)作AD⊥A1B于D，則 　　由平面A1BC⊥側面A1ABB1，且平面A1BC側面A1ABB1＝A1B，得 　　AD⊥平面A1BC，又BC平面A1BC， 　　所以AD⊥BC． 　　因為三棱柱ABC－A1B1C1是直三棱柱， 　　則AA1⊥底面ABC， 　　所以AA1⊥BC． 　　又AA1AD＝A，從而BC⊥側面A1ABB1， 　　又AB側面A1ABB1，故AB⊥BC． 　　(Ⅱ)解法1：連接CD，則由(Ⅰ)知是直線AC與平面A1BC所成的角， 　　是二面角A1－BC－A的平面角，即 　　于是在Rt△ADC中，在Rt△ADB中， 　　由AB＜AC，得又所以 　　解法2：由(Ⅰ)知，以點B為坐標原點，以BC、BA、BB1所在的直線分 　　別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，設AA1＝a，AC＝b， 　　AB＝c，則B(0，0，0)，A(0，c，0)，于是 　　 　　 　　設平面A1BC的一個法向量為n＝(x，y，z)，則 　　由得 　　可取n＝(0，－a，c)，于是與n的夾角為銳角，則與互為余角． 　　 　　所以 　　于是由c＜b，得 　　即又所以 　　本小題主要考查直棱柱、直線與平面所成角、二面角和線面關系等有關知識，同時考查空間想象能力和推理能力．(滿分12分)