Question

在△ABC中，有下列命題：
①A＞B的充要條件為sinA＞sinB；          ②A＜B的充要條件為cosA＞cosB；
③若A，B為銳角，則sinA+sinB＞cosA+cosB；   ④tan

A+B

2

tan

C

2

為常數(shù)．
其中正確的命題的個(gè)數(shù)為（　�。�

A．1個(gè)

B．2個(gè)

C．3個(gè)

D．4個(gè)

Answer 1

分析：由題意，可借助三角函數(shù)的相關(guān)公式對(duì)四個(gè)命題 真假性作出判斷
①命題判斷可分兩類(lèi)，角A是鈍角與不是鈍角兩類(lèi)證明；②命題可由余弦函數(shù)在（0，π）上是減函數(shù)得出命題是真命題；③命題可由角C的取值未定，無(wú)法得了A，B兩角和的范圍，真假性無(wú)法判斷；④命題可由兩角和為

π

2

，故兩角正切值互為倒數(shù)作出判斷

解答：解：在△ABC中，
①A＞B的充要條件為sinA＞sinB；此是一個(gè)真命題，若A＞B，當(dāng)A不超過(guò)90°時(shí)，顯然可得出sinA＞sinB，當(dāng)A是鈍角時(shí)，由于

π

2

＞π-A＞B，可得sin（π-A）=sinA＞sinB，即 A＞B是sinA＞sinB的充分條件，當(dāng)sinA＞sinB時(shí)，亦可得 A＞B，由此知 A＞B的充要條件為sinA＞sinB       
②A＜B的充要條件為cosA＞cosB；上命題是真命題，由于余弦函數(shù)在（0，π）上是減函數(shù)，故A＜B的充要條件為cosA＞cosB；
③若A，B為銳角，則sinA+sinB＞cosA+cosB；此命題是假命題，由于角C的范圍不確定，無(wú)法判斷sinA+sinB＞cosA+cosB是否成立；
④tan

A+B

2

tan

C

2

為常數(shù)，此命題正確，由于

A+B

2

+

C

2

=

π

2

，可得tan

A+B

2

tan

C

2

為常數(shù)
綜上知①②④是正確命題
故選C

點(diǎn)評(píng)：本題的考點(diǎn)是命題的真假判斷與應(yīng)用，考查了充要條件的判斷，正、余弦函數(shù)大小的比較等，解題的關(guān)鍵是理解三角函數(shù)的性質(zhì)，靈活運(yùn)用三角函數(shù)的性質(zhì)作出判斷，本題考查了判斷推理的能力及分類(lèi)討論的思想