已知向量
a
=(cos
3
2
x，sin
3
2
x)，
b
=(cos
x
2
，-sin
x
2
)，
c
=(-sin
x
2
，cos
x
2
)，且x∈[-
π
2
，
π
2
]．
（1）求|
a
+
b
|；
（2）求函數(shù)f（x）=2
a
•
c
+|
a
+
b
|的單調(diào)增區(qū)間．
分析：（1）根據(jù)
a
=(cos
3
2
x，sin
3
2
x)，
b
=(cos
x
2
，-sin
x
2
)，可得|
a
+
b
|2=
a
2+2
a
•
b
+
b
2，利用x∈[-
π
2
，
π
2
]，即可求得|
a
+
b
|；
（2）函數(shù)f（x）=2
a
•
c
+|
a
+
b
|=2sinx+2cosx=2
2
sin（x+
π
4
），x∈[-
π
2
，
π
2
]，令μ=x+
π
4
，則可得μ的范圍，y=sinμ在[-
π
4
，
π
2
]上為增函數(shù)，由此可得函數(shù)f（x）=2
a
•
c
+|
a
+
b
|單調(diào)增區(qū)間．
解答：解：（1）∵
a
=(cos
3
2
x，sin
3
2
x)，
b
=(cos
x
2
，-sin
x
2
)
∴|
a
+
b
|2=
a
2+2
a
•
b
+
b
2=2+2cos2x=4cos2x
∵x∈[-
π
2
，
π
2
]
∴cosx＞0
∴|
a
+
b
|=2cosx；
（2）
a
•
c
=sin（
3
2
x-
x
2
）=sinx
∴f（x）=2
a
•
c
+|
a
+
b
|=2sinx+2cosx=2
2
sin（x+
π
4
）
其中x∈[-
π
2
，
π
2
]，令μ=x+
π
4
，則μ∈[-
π
4
，
3π
4
]，y=sinμ在[-
π
4
，
π
2
]上為增函數(shù)
由μ∈[-
π
4
，
π
2
]可得x∈[-
π
2
，
π
4
]，故sin（x+
π
4
）的增區(qū)間為[-
π
2
，
π
4
]
即函數(shù)f（x）=2
a
•
c
+|
a
+
b
|單調(diào)增區(qū)間為[-
π
2
，
π
4
]
點評：本題考查向量知識的綜合運用，考查向量的模，考查三角函數(shù)的單調(diào)性，解題的關(guān)鍵是利用三角函數(shù)知識求解．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
a
=(-cosα，1+sinα)，
b
=(2sin2
α
2
，sinα)．
（Ⅰ）若|
a
+
b
|=
3
，求sin2α的值；
（Ⅱ）設(shè)
c
=(cosα，2)，求(
a
+
c
)•
b
的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
a
=(cosωx-sinωx，sinωx)，
b
=(-cosωx-sinωx，2
3
cosωx)，其中ω＞0，且函數(shù)f(x)=
a
•
b
+λ（λ為常數(shù)）的最小正周期為π．
（Ⅰ）求函數(shù)y=f（x）的圖象的對稱軸；
（Ⅱ）若函數(shù)y=f（x）的圖象經(jīng)過點(
π
4
，0)，求函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[0，
5π
12
]上的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
a
=(cos
θ
2
，sin
θ
2
)，
b
=(2，1)，且
a
⊥
b
．
（1）求tanθ的值；
（2 ）求
cos2θ
2
cos(
π
4
+θ)•sinθ
的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
a
=(cos(ωx-
π
6
)，  sin(ωx-
π
4
))，  
b
=(sin(
2
3
π-ωx)， sin(ωx+
π
4
))（其中ω＞0）．若函數(shù)f(x)=2
a
•
b
-1的圖象相鄰對稱軸間距離為
π
2
．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）求f（x）在[-
π
12
，  
π
2
]上的值域．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
a
=(cosθ，sinθ)，
b=
(cos2θ-1，sin2θ)，
c
=(cos2θ，sin2θ-
3
)．其中θ≠kπ，k∈Z．
（1）求證：
a
⊥
b
；
（2）設(shè)f(θ)=
a
•
c
，且θ∈(0，π)，求f(θ)的值域．

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