Question

已知向量

a

=(cos(ωx-

π

6

)，  sin(ωx-

π

4

))，  

b

=(sin(

2

3

π-ωx)， sin(ωx+

π

4

))（其中ω＞0）．若函數(shù)f(x)=2

a

•

b

-1的圖象相鄰對稱軸間距離為

π

2

．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）求f（x）在[-

π

12

，  

π

2

]上的值域．

Answer 1

分析：利用平面向量的數(shù)量積運算，由兩向量的坐標(biāo)化簡函數(shù)解析式，利用誘導(dǎo)公式變形后，再根據(jù)二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式化簡，最后利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化為一個角的正弦函數(shù)，
（Ⅰ）由函數(shù)的周期為π，利用化簡后的解析式找出x的系數(shù)為2ω，代入周期公式列出ω的方程，求出方程的解即可得到ω的值；
（Ⅱ）由x的范圍，求出這個角的范圍，根據(jù)自變量的范圍，求出正弦函數(shù)的值域，即為函數(shù)的值域．

解答：解：f(x)=2cos(wx-

π

6

)sin(

2

3

π-wx)+2sin(wx-

π

4

)•sin(wx+

π

4

)-1
=2cos(wx-

π

6

)cos(wx-

π

6

)+2sin(wx-

π

4

)cos(wx-

π

4

)-1
=2×

1+cos(2wx- π 3 )

2

+sin(2wx-

π

2

)-1=cos(2wx-

π

3

)-cos2wx
=

3

2

sin2wx-

1

2

cos2wx=sin(2wx-

π

6

)．（6分）
（Ⅰ）由條件知f（x）的最小正周期為π．（8分）  
即

2π

2w

=π，∴w=1．（9分）
（Ⅱ）f(x)=sin(2x-

π

6

)，x∈[-

π

12

，

π

2

]．
則2x-

π

6

∈[-

π

3

，

5

6

π]，
∴sin(2x-

π

6

)∈[-

3

2

，1]．
即函數(shù)f（x）在[-

π

12

，

π

2

]上的值域為[-

3

2

，1]．（12分）

點評：此題考查了平面向量的數(shù)量積運算，誘導(dǎo)公式，二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，以及正弦函數(shù)的定義域與值域，靈活運用三角函數(shù)的恒等變換把函數(shù)解析式化為一個角的正弦函數(shù)是解本題的關(guān)鍵．