Question

定義在R上的偶函數(shù)f（x）滿足f（x+1）f（x）=-2（f（x）≠0），且在區(qū)間（2013，2014）上單調(diào)遞增，已知α，β是銳角三角形的兩個內(nèi)角，則f（sinα）、f（cosβ）的大小關(guān)系是（　�。�

• A、f（sinα）＜f（cosβ）
• B、f（sinα）＞f（cosβ）
• C、f（sinα）=f（cosβ）
• D、以上情況均有可能

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的判斷

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由條件可得f（x）是周期為2的偶函數(shù)，在（-1，0）上單調(diào)遞增，故函數(shù)在（0，1）上單調(diào)遞減．
根據(jù)α，β是銳角三角形的兩個內(nèi)角，可得

π

2

＞α＞

π

2

-β＞0，可得1＞sinα＞sin（

π

2

-β）=cosβ＞0．
從而得到f（sinα）與f（cosβ）的大小關(guān)系．

解答： 解：∵定義在R上的偶函數(shù)f（x）滿足f（x+1）f（x）=-2，
∴f（x）=

-2

f(x+1)

=

-2

-2 f(x+2)

=f（x+2），
∴f（x）是周期為2的偶函數(shù)．
∵函數(shù)f（x）在區(qū)間（2013，2014）上單調(diào)遞增，
故函數(shù)在（-1，0）上單調(diào)遞增，在（0，1）上單調(diào)遞減．
∵α，β是銳角三角形的兩個內(nèi)角，∴α+β＞

π

2

，∴

π

2

＞α＞

π

2

-β＞0，
∴1＞sinα＞sin（

π

2

-β）=cosβ＞0．
則f（sinα）＜f（cosβ），
故選：A．

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，考查三角函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題．