Question

已知 f（x）=

3

2

sin2x+

1

2

cos2x+

3

2

（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期和單調(diào)增區(qū)間
（2）函數(shù)f（x）的圖象可由函數(shù)y=sin2x的圖象經(jīng)過怎樣的變換得到．

Answer 1

考點：兩角和與差的正弦函數(shù),函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡函數(shù)，即可求函數(shù)f（x）的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）利用“左加右減，上加下減”，即可得到結(jié)論．

解答： 解：（1）f（x）=

3

2

sin2x+

1

2

cos2x+

3

2

=sin（2x+

π

6

）+

3

2

∴函數(shù)f（x）的最小正周期T=

2π

ω

=

2π

2

=π
∵2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

⇒kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，k∈Z，
∴單調(diào)增區(qū)間為[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]，k∈Z．
（2）∵f（x）=sin（2x+

π

6

）+

3

2

=sin2（x+

π

12

）+

3

2

，
∴先由函數(shù)y=sin2x的圖象向左平移

π

12

個單位，再把圖象向上平移

3

2

個單位，即可得到函數(shù)f（x）的圖象．…（12分）

點評：本題主要考查三角函數(shù)的化簡，考查三角函數(shù)的性質(zhì)，考察了函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換，屬于中檔題．