Question

已知：橢圓和雙曲線．過(guò)橢圓C₁的右焦點(diǎn)F₂作與橢圓長(zhǎng)軸垂直的直線與橢圓相交于P，Q兩點(diǎn)，|PQ|=3．
（1）求橢圓C₁的方程；
（2）若以橢圓右頂點(diǎn)A為圓心，|AF₂|為半徑的圓與雙曲線C₂的漸近線相切，求雙曲線的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）橢圓過(guò)焦點(diǎn)垂直長(zhǎng)軸的直線被橢圓截得的弦長(zhǎng)等于，用此公式代入已知條件，可以求出橢圓C₁的半短軸b的值，從而得出橢圓C₁的方程；
（2）以橢圓右頂點(diǎn)A為圓心，|AF₂|為半徑的圓與雙曲線C₂的漸近線相切，說(shuō)明右頂點(diǎn)A（2，0）到雙曲線的漸近線2x±ay=0的距離等于該圓的半徑1，用點(diǎn)到直線的距離公式建立關(guān)系式，可以求出雙曲線的實(shí)半軸a的值，從而得出雙曲線的方程．
解答：解：（1）根據(jù)橢圓，
過(guò)右焦點(diǎn)F₂作與橢圓長(zhǎng)軸垂直的直線與橢圓相交于P，Q兩點(diǎn)，且|PQ|=3．
可得：⇒
所以橢圓C₁的方程為；
（2）由（1）得橢圓的右頂點(diǎn)為A（2，0），焦點(diǎn)F₂（1，0）
∵橢圓右頂點(diǎn)A為圓心，|AF₂|為半徑的圓與雙曲線C₂的漸近線相切，
∴點(diǎn)A（2，0）到直線的距離等于圓的半徑1
得⇒a²=12
∴雙曲線C₂的方程為：．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，屬于中檔題．直線與圓錐曲線、直線與圓和橢圓相結(jié)合，利用點(diǎn)到直線的距離解決相切相交等等考點(diǎn)，是近幾年�？嫉闹�識(shí)點(diǎn)，值得我們注意．