設(shè)兩個不共線的向量
OA
，
AB
的夾角為θ，且|
OA
|=3，|
OB
|=2．
（1）若θ=
π
3
，求
OA
•
AB
的值；
（2）若θ為定值，點M在直線OB上移動，|
OA
+
OM
|的最小值為
3
2
，求θ的值．
分析：（1）根據(jù)兩個不共線的向量
OA
，
OB
的夾角θ=
π
3
，及|
OA
|=3，|
OB
|=2，結(jié)合
AB
=
OB
-
OA
，我們代入直接求出
OA
•
AB
；
（2）由點M在直線OB上，我們設(shè)
OM
=λ
OB
，結(jié)合|
OA
+
OM
|2=
OA
2+2
OA
•
OM
+
OM
2，分類討論λ＞0（即
OM
與
OB
同向）、λ＜0（即
OM
與
OB
反向）即可求出對應(yīng)λ的值．
解答：解：（1）
OA
•
AB
=
OA
•(
OB
-
OA
)=-
OA
2+
OA
•
OB

=-|
OA
|2+|
OA
||
OB
|cosθ=-9+3×2×
1
2
=-6（6分）
（2）設(shè)
OM
=λ
OB
，
則顯然λ≠0
|
OA
+
OM
|2=
OA
2+2
OA
•
OM
+
OM
2
①當λ＞0時
|
OA
+
OM
|2=|
OA
|2+2|
OA
|•|
OM
|cosθ+|
OM
|2
=9+12cosθ•λ+4λ2（*）（8分）
要使得（*）有最小值，
其對稱軸λ=-
3
2
cosθ＞0，
即cosθ＜0
故|
OA
+
OM
|2min=
144-144cos2θ
16
=
9
4
，
解得cosθ=-
3
2
（10分）
又0°≤θ≤180°
∴θ=150°（12分）
②當λ＜0時
|
OA
+
OM
|2=|
OA
|2-2|
OA
|•|
OM
|cosθ+|
OM
|2
=9+12cosθ•λ+4λ2（#）
要使得（#）有最小值，
其對稱軸λ=-
3
2
cosθ＜0，
即cosθ＞0
故|
OA
+
OM
|2min=
144-144cos2θ
16
=
9
4
，
解得cosθ=
3
2

又0°≤θ≤180°
∴θ=30°（15分）
綜上所述，θ=30°或150°（16分）．
點評：本題考查的知識點是平面向量的數(shù)量積運算，向量的模及二次函數(shù)的最值問題，考查運算求解能力，考查轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在平面直角坐標系xOy中，點F與點E（-
2
，0）關(guān)于原點O對稱，M是動點，且直線EM與FM的斜率之積等于-
1
2
．設(shè)點M的軌跡為曲線C，經(jīng)過點(0，
2
)且斜率為k的直線l與曲線C有兩個不同的交點P和Q．
（Ⅰ）求曲線C的軌跡方程；
（Ⅱ）求k的取值范圍；
（Ⅲ）設(shè)A(
2
，0)，曲線C與y軸正半軸的交點為B，是否存在常數(shù)k，使得向量
OP
+
OQ
與
AB
共線？如果存在，求k值；如果不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•盧灣區(qū)一模）已知
a
、
b
是兩個不共線的非零向量．
（1）設(shè)
OA
=
a
，
OB
=t
b
（t∈R），
OC
=
1
3
(
a
+
b
)，當A、B、C三點共線時，求t的值．
（2）如圖，若
a
=
OD
，
b
=
OE
，
a
與
b
夾角為120°，|
a
|=|
b
|=1，點P是以O(shè)為圓心的圓弧
DE
上一動點，設(shè)
OP
=x
OD
+y
OE
（x，y∈R），求x+y的最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知數(shù)學公式、數(shù)學公式是兩個不共線的非零向量．
（1）設(shè)數(shù)學公式，數(shù)學公式（t∈R），數(shù)學公式，當A、B、C三點共線時，求t的值．
（2）如圖，若數(shù)學公式，數(shù)學公式，數(shù)學公式與數(shù)學公式夾角為120°，|數(shù)學公式|=|數(shù)學公式|=1，點P是以O(shè)為圓心的圓弧數(shù)學公式上一動點，設(shè)數(shù)學公式（x，y∈R），求x+y的最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源：2012年上海市盧灣區(qū)高考數(shù)學一模試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

已知、是兩個不共線的非零向量．
（1）設(shè)，（t∈R），，當A、B、C三點共線時，求t的值．
（2）如圖，若，，與夾角為120°，||=||=1，點P是以O(shè)為圓心的圓弧上一動點，設(shè)（x，y∈R），求x+y的最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源：2012年上海市盧灣區(qū)高考數(shù)學一模試卷（文科）（解析版） 題型：解答題

已知、是兩個不共線的非零向量．
（1）設(shè)，（t∈R），，當A、B、C三點共線時，求t的值．
（2）如圖，若，，與夾角為120°，||=||=1，點P是以O(shè)為圓心的圓弧上一動點，設(shè)（x，y∈R），求x+y的最大值．

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