Question

（本小題滿分12分）

設(shè)函數(shù).

⑴ 當(dāng)時(shí),求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程；

⑵ 對(duì)任意的函數(shù)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）

 

【解析】本試題主要是考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義的運(yùn)用和利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的恒成立問(wèn)題的綜合運(yùn)用問(wèn)題。

（1）首先求解函數(shù)解析式，然后求導(dǎo)，得到導(dǎo)數(shù)，代入點(diǎn)的坐標(biāo)，得到切線方程。

（2）根據(jù)對(duì)任意的函數(shù)恒成立，只要研究函數(shù)f(x)在給定區(qū)間的最小值大于等于零即可。需要對(duì)參數(shù)a分類討論，得到最值。

解：（1）當(dāng)時(shí),

由，則                      ---------3分

 函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程 為                         

  即                                               ---------4分

(2)                   ---------5分

易知，，則

當(dāng)即時(shí)，由得恒成立，

在上單調(diào)遞增，  符合題意。所以 ---------7分

當(dāng)時(shí)，由得恒成立，在上單調(diào)遞減，

    顯然不成立，舍去。                         ---------8分

當(dāng)時(shí)，由，得即

則

因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012071821030182567708/SYS201207182103453568497598_DA.files/image025.png">，所以。時(shí)，恒成立，

在上單調(diào)遞減，顯然不成立，舍去。---------11分

綜上可得:                                           --------------12分