Question

【題目】△ABC在內角A、B、C的對邊分別為a，b，c，已知a=bcosC+csinB．
（Ⅰ）求B；
（Ⅱ）若b=2，求△ABC面積的最大值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由已知及正弦定理得：sinA=sinBcosC+sinBsinC①，
∵sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC②，
∴sinB=cosB，即tanB=1，
∵B為三角形的內角，
∴B= ；
（Ⅱ）S△ABC= acsinB= ac，
由已知及余弦定理得：4=a2+c2﹣2accos ≥2ac﹣2ac× ，
整理得：ac≤ ，當且僅當a=c時，等號成立，
則△ABC面積的最大值為 × × = × ×（2+ ）= +1．
【解析】（Ⅰ）已知等式利用正弦定理化簡，再利用兩角和與差的正弦函數公式及誘導公式變形，求出tanB的值，由B為三角形的內角，利用特殊角的三角函數值即可求出B的度數；（Ⅱ）利用三角形的面積公式表示出三角形ABC的面積，把sinB的值代入，得到三角形面積最大即為ac最大，利用余弦定理列出關系式，再利用基本不等式求出ac的最大值，即可得到面積的最大值．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解正弦定理的定義的相關知識，掌握正弦定理:，以及對余弦定理的定義的理解，了解余弦定理:;;．