Question

橢圓：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上存在點(diǎn)P使

PF1

•

PF2

＜0，則離心率e∈（　�。�

• A、（0，

  2

  2

  ）
• B、（0，

  2

  2

  ]
• C、（

  2

  2

  ，1）
• D、（

  2

  2

  ，1]

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：

分析：據(jù)題意，可得以F₁F₂為直徑的圓與橢圓C有公共點(diǎn)，因此橢圓短軸的頂點(diǎn)在該圓的內(nèi)部．由此建立關(guān)于a、b、c的不等關(guān)系，化簡(jiǎn)解出a＜

2

c，從而求出離心率的范圍．

解答： 解：∵點(diǎn)P滿足

PF1

•

PF2

＜0，
∴點(diǎn)P在以F₁F₂為直徑的圓的內(nèi)部，
∴以F₁F₂為直徑的圓與橢圓C有公共點(diǎn)，
由此可得橢圓短軸的頂點(diǎn)在在圓的內(nèi)部，
∴b＜c，即

a2-c2

＜c，化簡(jiǎn)得a²＜2c²，解得a＜

2

c．
因此，橢圓C的離心率e=

c

a

＞

2

2

．
∵橢圓離心率在（0，1）之間取值，
∴橢圓C的離心率e∈（

2

2

，1）．
故選：C．

點(diǎn)評(píng)：本題給出橢圓上存在點(diǎn)P，使點(diǎn)P對(duì)兩個(gè)焦點(diǎn)的張角為鈍角，求橢圓離心率的取值范圍．著重考查了橢圓的基本概念與簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)、直線的位置關(guān)系與圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程等知識(shí)，屬于中檔題．