Question

設(shè)x＞0，y＞0，且x+y=1，求證（1+

1

x

）（1+

1

y

）≥9．

Answer 1

考點(diǎn)：分析法和綜合法

專題：證明題,分析法

分析：分析法是從求證的不等式出發(fā)，找到使不等式成立的充分條件，把證明不等式的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為判定這些充分條件是否具有的問(wèn)題

解答： 證明：要證（1+

1

x

）（1+

1

y

）≥9成立，-----（1分）
因?yàn)閤＞0，y＞0，且x+y=1，所以y=1-x＞0．---------------（1分）
只需證明（1+

1

x

）（1+

1

1-x

）≥9，--------------------（1分）
即證（1+x）（2-x）≥9x（1-x），-------------------------（2分）
即證2+x-x²≥9x-9x²，即證4x²-4x+1≥0．---------------（1分）
即證（2x-1）²≥0，此式顯然成立，----------------------（2分）
所以原不等式成立．----------------------------------（1分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查用分析法證明不等式，把證明不等式轉(zhuǎn)化為尋找使不等式成立的充分條件，直到使不等式成立的充分條件顯然已經(jīng)具備為止．