Question

某企業(yè)生產(chǎn)一種產(chǎn)品，日產(chǎn)量基本保持在1萬件到10萬件之間，由于受技術(shù)水平等因素的影響，會產(chǎn)生一些次品，根據(jù)統(tǒng)計分析，其次品率P（次品率=

日生產(chǎn)次品數(shù)

日生產(chǎn)量

）與日產(chǎn)量x（萬件）之間基本滿足關(guān)系：P=

1 50 x   (1≤x≤5) 1 250 x2- 1 25 x+ 1 5   (5＜x≤10)

，目前，每生產(chǎn)1萬件合格的產(chǎn)品可以盈利10萬元，但每生產(chǎn)1萬件次品將虧損40萬元．
（1）試將生產(chǎn)這種產(chǎn)品每天的盈利額T（萬元）表示為日產(chǎn)量x（萬件）的函數(shù)；
（2）問當(dāng)生產(chǎn)這種產(chǎn)品的日產(chǎn)量x約為多少時（精確到0.1萬件），企業(yè)可獲得最大利潤？

Answer 1

考點(diǎn)：分段函數(shù)的應(yīng)用

專題：應(yīng)用題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：對第（1）問，由次品率=

日生產(chǎn)次品數(shù)

日生產(chǎn)量

，得日生產(chǎn)次品數(shù)為xp，從而合格產(chǎn)品數(shù)為x-xp，再由每天的最終盈利額=合格產(chǎn)品盈利額-次品虧損額，可得T與x的函數(shù)關(guān)系式；
對第（2）問，對1≤x≤5及5＜x≤10進(jìn)行討論，根據(jù)各自表達(dá)式的特點(diǎn)分別求出函數(shù)獲得最大值時x的值，通過比較函數(shù)的兩個最大值，即可知對應(yīng)x的值．

解答： 解：（1）設(shè)盈利額T（萬元）關(guān)于日產(chǎn)量x（萬件）的函數(shù)為T（x），
則T（x）=x•（1-P）×10-x•P×40=x（10-50P）．
當(dāng)1≤x≤5時，T(x)=x(10-50×

1

50

x)=-x²+10x；
當(dāng)5＜x≤10時，T(x)=x[10-50(

1

250

x2-

1

25

x+

1

5

)]，
即T（x）=

-x2+10x(1 ≤ x ≤ 5) - 1 5 x3+2x2   (5＜x ≤ 10).

（2）當(dāng)1≤x≤5時，T（x）_max=T（5）=25；   
當(dāng)5＜x≤10時，由T（x）得T′(x)=-

3

5

x2+4x，
令T'（x）=0，得x=

20

3

（x=0舍去）．當(dāng)x變化時，f（x）及f'（x）的變化情況如下表所示：

x	(5， 20 3 )	20 3	( 20 3 ，10)
T'（x）	+	0	-
T（x）	↗		↘

∵T（x）的圖象在（5，10]上連續(xù)，
∴T（x）在（5，10]上的最大值為T(x)max=T(

20

3

)=

800

27

．      
∵25＜

800

27

，∴當(dāng)x=

20

3

≈6.7時，T（x）在[1，10]上取得最大值．  
答：當(dāng)生產(chǎn)這種產(chǎn)品的日產(chǎn)量約為6.7萬件時，企業(yè)可獲得最大利潤．

點(diǎn)評：1．本題的函數(shù)關(guān)系式實(shí)際上涉及到分段函數(shù)與復(fù)合函數(shù)的綜合，考慮函數(shù)的復(fù)合規(guī)則時應(yīng)分段處理，這體現(xiàn)了分類討論的思想．
2．本題還考查了導(dǎo)數(shù)在函數(shù)最值問題中的應(yīng)用，求解時必須考慮問題的實(shí)際情況，比如自變量的取值應(yīng)使得實(shí)際問題有意義．
3．求解函數(shù)應(yīng)用題的一般步驟：
（1）理解題意；
（2）建立函數(shù)關(guān)系式；
（3）根據(jù)關(guān)系式求解相關(guān)問題，必要時應(yīng)檢驗(yàn)．