已知函數(shù)f（x）=ln（1+x2）+ax（a≤0）．
（1）若f（x）在x=0處取得極值，求a的值；
（2）討論f（x）的單調(diào)性；
（3）證明：數(shù)學(xué)公式（n∈N+，e）為自然對數(shù)的底數(shù)）

（1）解：f′（x）=+a，
∵x=0是f（x）的一個極值點，∴f′（0）=0，
∴a=0
∵x＜0，f′（x）＜0；x＞0，f′（x）＞0
∴a=0符合條件…（3分）
（2）解：f′（x）=+a=．…（4分）
①若a=0時，由（1）知，f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增，在（-∞，0）單調(diào)遞減；…（5分）
②若，即當(dāng)a≤-1時，f'（x）≤0對x∈R恒成立．
∴f（x）在（-∞，+∞）上單調(diào)遞減．…（6分）
③若當(dāng)-1＜a＜0時，由f'（x）＞0得ax2+2x+a＞0，∴＜x＜．
再令f'（x）＜0可得x＞或x＜．
∴f（x）在（，）上單調(diào)遞增，在（-∞，），（，+∞）上單調(diào)遞減．…（9分）
（3）證明：由（2）知，當(dāng)a=-1時，f（x）在（-∞，+∞）上單調(diào)遞減；
當(dāng)x∈（0，+∞）時，由f（x）=ln（1+x2）-x＜f（0）=0，∴l(xiāng)n（1+x2）＜x
∴
∴．…（14分）
分析：（1）先求導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)x=0是f（x）的一個極值點，可得f'（0）=0，從而可求a的值；
（2）先求導(dǎo)函數(shù)，再對a進行討論，利用f'（x）＞0得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，f'（x）＜0得函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；
（3）由（2）知，當(dāng)a=-1時，f（x）在（-∞，+∞）上單調(diào)遞減，所以當(dāng)x∈（0，+∞）時，由f（x）=ln（1+x2）-x＜f（0）=0，可得ln（1+x2）＜x，進而可證得結(jié)論．
點評：本題以函數(shù)為載體，考查導(dǎo)數(shù)的運用，考查利用導(dǎo)數(shù)研究極值問題，考查函數(shù)的單調(diào)性，同時考查分類討論的數(shù)學(xué)思想．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=2x-2+ae-x（a∈R）
（1）若曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線平行于x軸，求a的值；
（2）當(dāng)a=1時，若直線l：y=kx-2與曲線y=f（x）在（-∞，0）上有公共點，求k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x2+2|lnx-1|．
（1）求函數(shù)y=f（x）的最小值；
（2）證明：對任意x∈[1，+∞），lnx≥
2(x-1)
x+1
恒成立；
（3）對于函數(shù)f（x）圖象上的不同兩點A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2），如果在函數(shù)f（x）圖象上存在點M（x0，y0）（其中x0∈（x1，x2））使得點M處的切線l∥AB，則稱直線AB存在“伴侶切線”．特別地，當(dāng)x0=
x1+x2
2
時，又稱直線AB存在“中值伴侶切線”．試問：當(dāng)x≥e時，對于函數(shù)f（x）圖象上不同兩點A、B，直線AB是否存在“中值伴侶切線”？證明你的結(jié)論．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x2-bx的圖象在點A（1，f（1））處的切線l與直線x+3y-1=0垂直，若數(shù)列{
1
f(n)
}的前n項和為Sn，則S2012的值為（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=xlnx
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的極值點；
（Ⅱ）若直線l過點（0，-1），并且與曲線y=f（x）相切，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
3
x
a
+
3
(a-1)
x
，a≠0且a≠1．
（1）試就實數(shù)a的不同取值，寫出該函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；
（2）已知當(dāng)x＞0時，函數(shù)在（0，
6
）上單調(diào)遞減，在（
6
，+∞）上單調(diào)遞增，求a的值并寫出函數(shù)的解析式；
（3）記（2）中的函數(shù)圖象為曲線C，試問是否存在經(jīng)過原點的直線l，使得l為曲線C的對稱軸？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由．

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