Question

已知A，B為橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上兩點(diǎn)，且OA⊥OB（O為原點(diǎn)）
（1）求證：

1

|OA|2

+

1

|OB|2

為定值
（2）求△AOB面積的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）可利用直線OA，OB方程與橢圓方程聯(lián)立求A，B點(diǎn)坐標(biāo)滿足的一元方程，進(jìn)而求出A，B的橫縱坐標(biāo)的平方，代入

1

|OA|2

+

1

|OB|2

，化簡即可．
（2）由S_△AOB=

1

2

|OA||OB|，

1

|OA|2

+

1

|OB|2

=

a2+b2

a2b2

，可根據(jù)均值不等式求最小值，再根據(jù)S_△²AOB=

1

4

|OA|2|OB|2，把|OB|²轉(zhuǎn)化為|OA|²，再根據(jù)橢圓中，|OA|范圍即可求出面積最大值．

解答：解：（1）設(shè)橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=  1，設(shè)當(dāng)直線OA斜率存在且不為0時，設(shè)方程為y=kx，
∵A，B分別為橢圓上的兩點(diǎn)，且OA⊥OB．∴直線OB方程為y=-

1

k

x
設(shè)A（x1，y1），b（x2，y2），把y=kx代入

x2

a2

+

y2

b2

=  1得 x12=

a2b2

b2+a2k2

，∴y12=

k2a2b2

b2+a2k2

把y=-

1

k

x代入

x2

a2

+

y2

b2

=  1，得   x22=

a2b2k2

a2+b2k2

，∴y22=

a2b2

a2+b2k2

                        
  

1

|OA|2

+

1

|OB|2

=

1

x12+y12

+

1

x22+y22

=

1

a2b2 b2+a2k2 +   k2a2b2 b2+a2k2

+

1

a2b2k2 a2+b2k2 +   a2b2 a2+b2k2

=

a2+b2

a2b2

當(dāng)直線OA，OB其中一條斜率不存在時，則另一條斜率為0此時

1

|OA|2

+

1

|OB|2

=

1

a2

+

1

b2

=

a2+b2

a2b2

綜上，

1

|OA|2

+

1

|OB|2

為定值
（2）S_△AOB=

1

2

|OA||OB|，∴S_△²AOB=

1

4

|OA|²|OB|²
由（1）知

1

|OA|2

+

1

|OB|2

=

a2+b2

a2b2

≥2

1 |OA|2 1 |OB|2

=

2

|OA||OB|

∴S_△AOB=

1

2

|OA||OB|≥

a2b2

a2+b2

，∴S△AOBmin=

a2b2

a2+b2

．
∵S_△²AOB=

1

4

|OA|²|OB|²=

1

4

|OA|² (

1

a2+b2 a2b2 -   1 |OA|2

)
∵|OA|≤a，∴S_△²AOB≤

1

4

a²（

1

a2+b2 a2b2 - 1 a2

）=

1

4

a²b²
∴S△AOBmax=

ab

2

綜上 S△AOBmin=

a2b2

a2+b2

，S△AOBmax=

ab

2

點(diǎn)評：本題考查了橢圓中定植問題和最值問題，與不等式聯(lián)系，題目較難，應(yīng)認(rèn)真分析題意．