已知F1，F(xiàn)2為橢圓x2+
y2
2
=1上的兩個焦點(diǎn)，A，B是過焦點(diǎn)F1的一條動弦，則△ABF2的面積的最大值為（　　）
分析：設(shè)出AB方程代入橢圓方程，整理，利用韋達(dá)定理，表示出三角形的面積，換元，即可得出結(jié)論．
解答：解：∵橢圓x2+
y2
2
=1，
∴F1（0，1），F(xiàn)2（0，-1），
設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），AB方程為y=kx+1，
代入橢圓方程，整理可得（2+k2）x2+2kx-1=0，
∴x1+x2=
-2k
2+k2
，x1x2=-
1
2+k2
，
∴△ABF2的面積為S=
1
2
|F1F2||x1-x2|=
(
-2k
2+k2
)2+
4
2+k2
=
8(k2+1)
(2+k2)2
，
令t=k2+1（t≥1），則S=
8t
(t+1)2
=
8
(
1
t
+
1
t2
)2
≤
2
，當(dāng)且僅當(dāng)t=1，即k=0時取等號，
∴△ABF2的面積的最大值為
2
．
故選B．
點(diǎn)評：本題考查橢圓的幾何性質(zhì)，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查三角形面積的計(jì)算，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知F1，F(xiàn)2為橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的兩個焦點(diǎn)，過F2作橢圓的弦AB，若△AF1B的周長為16，橢圓的離心率e=
3
2
，則橢圓的方程為（　�。�
A、
x2
4
+
y2
3
=1
B、
x2
16
+
y2
3
=1
C、
x2
16
+
y2
4
=1
D、
x2
16
+
y2
12
=1

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知F1，F(xiàn)2為橢圓E的兩個左右焦點(diǎn)，拋物線C以F1為頂點(diǎn)，F(xiàn)2為焦點(diǎn)，設(shè)P為橢圓與拋物線的一個交點(diǎn)，如果橢圓離心率e滿足|PF1|=e|PF2|，則e的值為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知F1、F2為橢圓
x2
25
+
y2
9
=1的兩個焦點(diǎn)，點(diǎn)P是橢圓上的一個動點(diǎn)，則|PF1|•|PF2|的最小值是
9
9
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知F1、F2為橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的焦點(diǎn)，B為橢圓短軸的一個端點(diǎn)，
BF1
•
BF2
≥
1
2
F1F2
2則橢圓的離心率的取值范圍是
（0，
1
2
]
（0，
1
2
]
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2009•荊州模擬）已知F1、F2為橢圓C：
x2
m+1
+
y2
m
=1的兩個焦點(diǎn)，P為橢圓上的動點(diǎn)，則△F1PF2面積的最大值為2，則橢圓的離心率e為（　�。�

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