Question

（2009•虹口區(qū)二模）（1）證明命題：若直線l過(guò)拋物線y²=2px （p＞0）的焦點(diǎn)F（

p

2

，0），交拋物線于AB兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，那么

OA

•

OB

=-

3

4

p²；
（2）寫出第（1）題中命題的逆命題．如其為真，則給出證明； 如其為假，則說(shuō)明理由；
（3）把第（1）題中命題作推廣，使其是你推廣的特例，并對(duì)你的推廣作出證明．

Answer 1

分析：（1）先討論出當(dāng)直線l垂直于x軸時(shí)，

OA

•

OB

的值；再設(shè)出直線方程，把直線與拋物線方程聯(lián)立，得到A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)和斜率之間的關(guān)系，再代入

OA

•

OB

計(jì)算即可得到結(jié)論．
（2）先寫出第（1）題中命題的逆命題．其為真，利用類似（1）的方法給出證明；
（3）先寫出推廣結(jié)論，再根據(jù)第一問(wèn)求

OA

•

OB

的方法即可得到結(jié)論．（注意要分直線斜率存在和不存在兩種情況討論）．

解答：解：（1）若直線l垂直于x軸，則 A(

p

2

，p)，B(

p

2

，-p).

OA

•

OB

=(

p

2

)2-p2=-

3

4

p2．…（2分）
若直線l不垂直于軸，設(shè)其方程為 y=k(x-

p

2

)，A（x₁，y₁）B（x₂，y₂）．
由

y=k(x- p 2 ) y2=2px

⇒k2x2-p(2+k2)x+

p2

4

k2=0x1+x2=

(2+k2)

k2

p，x1•x2=

p2

4

．…（4分）
∴

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=x1x2+k2(x1-

p

2

)(x2-

p

2

)=(1+k2)x1x2-

p

2

k2(x1+x2)+

p2k2

4

=(1+k2)

p2

4

-

p

2

k2•

(2+k2)p

k2

+

p2k2

4

=-

3

4

p2．
綜上，

OA

•

OB

=-

3

4

p2為定值．…（6分）
（2）寫出第（1）題中命題的逆命題：
若直線l交拋物線于AB兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，

OA

•

OB

=-

3

4

p²，那么直線l過(guò)拋物線y²=2px （p＞0）的焦點(diǎn)F（

p

2

，0）．其為真，
證明如下：若直線l垂直于x軸，

OA

•

OB

=-

3

4

p2．則A(

p

2

，p)，B(

p

2

，-p)
AB過(guò)拋物線y²=2px （p＞0）的焦點(diǎn)F（

p

2

，0）．…（4分）
若直線l不垂直于軸，設(shè)其方程為 y=k（x-m），A（x₁，y₁）B（x₂，y₂）．
由

y=k(x-m) y2=2px

及

OA

•

OB

=-

3

4

p2得出m=

1

2

p．
從而AB過(guò)拋物線y²=2px （p＞0）的焦點(diǎn)F（

p

2

，0）．…（8分）
（3）關(guān)于橢圓有類似推廣的結(jié)論：
過(guò)橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的一個(gè)焦點(diǎn)F的動(dòng)直線l交橢圓于A、B兩點(diǎn)，存在定點(diǎn)P，使

OA

•

OB

為定值．
證明：不妨設(shè)直線l過(guò)橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1的右焦點(diǎn)F（c，0）（其中 c=

a2-b2

）
若直線l不垂直于軸，則設(shè)其方程為：y=k（x-c），A（x₁，y₁）B（x₂，y₂）．
由

y=k(x-c) x2 a2 + y2 b2 =1

⇒(a2k2+b2)x2-2a2ck2x+(a2c2k2-a2b2)=0得：
所以 x1+x2=

2a2ck2

a2k2+b2

，x1•x2=

a2c2k2-a2b2

a2k2-b2

．…（9分）
由對(duì)稱性可知，設(shè)點(diǎn)P在x軸上，其坐標(biāo)為（m，0）．
所以

PA

•

PB

=（x₁-m）（x₂-m）+y₁y₂
=（1+k²）x₁x₂-（m+ck²）（x₁+x₂）+m²+c²k²
=（1+k²）

a2c2k2-a2b2

a2k2-b2

-（m+ck²）

2a2ck2

a2k2+b2

+m²+c²k²
=

(a4-a2b2-b4+a2m2-2a2cm)k2+(m2-a2)b2

a2k2+b2

要使

PA

•

PB

為定值，
只要a⁴-a²b²-b⁴+a²m²-2a²cm=a²（m²-a²），
即 m=

2a4-a2b2-b4

2a2c

=

(2a2+b2)c

2a2

=

(3-e2)c

2

此時(shí)

PA

•

PB

=m²-a²=

(2a2+b2)2c2-4a6

4a4

=

b4(c2-4a2)

4a4

…（12分）
若直線l垂直于x軸，則其方程為x=c，A(c，

b2

a

)，B(c，-

b2

a

)．
取點(diǎn) P(

(2a2+b2)c

2a2

，0)
有

PA

•

PB

=[

(2a2+b2)c

2a2

-c]2-

b4

a2

=

b4(c2-4a2)

4a4

．…（13分）
綜上，過(guò)焦點(diǎn)F（c，0）的任意直線l交橢圓于A、B兩點(diǎn)，存在定點(diǎn) P(

(2a2+b2)c

2a2

，0)
使

PA

•

PB

=

b4(c2-4a2)

4a4

．為定值．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查拋物線的基本性質(zhì)以及直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查方程思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于中檔題．