Question

已知橢圓C：的左、右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，下頂點為A，點P是橢圓上任一點，⊙M是以PF₂為直徑的圓．
（Ⅰ）當⊙M的面積為時，求PA所在直線的方程；
（Ⅱ）當⊙M與直線AF₁相切時，求⊙M的方程；
（Ⅲ）求證：⊙M總與某個定圓相切．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根據(jù)橢圓方程求得焦點，頂點的坐標，設出點P的坐標，進而表示出|PF₂|的長度進而根據(jù)圓M的面積求得x₁，求得P的坐標，則PA所在的直線方程可得．
（Ⅱ）根據(jù)點M到直線AF₁的距離求得x₁和y₁的關系式，進而與橢圓方程聯(lián)立求得x₁，進而求得M的坐標則圓的方程可得．
（Ⅲ）首先表示出OM的長度，以及圓M的半徑，進而求得OM=r₁-r₂，推斷出⊙M和以原點為圓心，半徑為r₁=（長半軸）的圓相內(nèi)切．
解答：解：（Ⅰ）易得F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），A（0，-1），設點P（x₁，y₁），
則，
所以
又⊙M的面積為，∴，
解得x₁=1，∴，
∴PA所在直線方程為或
（Ⅱ）因為直線AF₁的方程為x+y+1=0，且到直線AF₁的距離為
化簡得y₁=-1-2x₁，聯(lián)立方程組，
解得x₁=0或
∴當x₁=0時，可得，
∴⊙M的方程為；
當時，可得，
∴⊙M的方程為
（Ⅲ）⊙M始終和以原點為圓心，半徑為r₁=（長半軸）的圓（記作⊙O）相切
證明：因為
=，
又⊙M的半徑r₂=MF₂=，
∴OM=r₁-r₂，∴⊙M和⊙O相內(nèi)切．
點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．直線與圓錐曲線聯(lián)系在一起的綜合題在高考中多以高檔題、壓軸題出現(xiàn)，主要涉及位置關系的判定，弦長問題、最值問題、對稱問題、軌跡問題等．突出考查了數(shù)形結(jié)合、分類討論、函數(shù)與方程、等價轉(zhuǎn)化等數(shù)學思想方法．