Question

（2013•臨沂二模）

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）如圖，已知橢圓C：的左、右焦點分別為F₁、F₂，離心率為

3

2

，點A是橢圓上任一點，△AF₁F₂的周長為4+2

3

．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過點Q（-4，0）任作一動直線l交橢圓C于M，N兩點，記

MQ

=λ

QN

，若在線段MN上取一點R，使得

MR

=-λ

RN

，則當直線l轉動時，點R在某一定直線上運動，求該定直線的方程．

Answer 1

分析：（I）利用橢圓的定義、e=

c

a

及b²=a²-c²即可解出；
（II）由題意知，直線l的斜率必存在，設其方程為y=k（x+4），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．把直線l的方程與橢圓方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關系，再利用向量

MQ

=λ

QN

，

MR

=-λ

RN

，即可得出坐標之間的關系，消去λ及k即可得出結論．

解答：解（Ⅰ）∵△AF₁F₂的周長為4+2

3

，
∴2a+2c=4+2

3

，即a+c=2+

3

．
又e=

c

a

=

3

2

，解得a=2，c=

3

，b²=a²-c²=1．
∴橢圓C的方程為

x2

4

+y2=1．
（Ⅱ）由題意知，直線l的斜率必存在，
設其方程為y=k（x+4），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
由

y=k(x+4) x2 4 +y2=1

得（1+4k²）x²+32k²x+64k²-4=0．
由題意△=（32k²）²-4（1+4k²）（64k²-4）＞0，即12k²-1＜0．
則x1+x2=

-32k2

1+4k2

，x1x2=

64k2-4

1+4k2

．
由

MQ

=λ

QN

，得（-4-x₁，-y₁）=（x₂+4，y₂），
∴-4-x₁=λ（x₂+4），∴λ=

x1+4

x2+4

．
設點R的坐標為（x₀，y₀），由

MR

=-λ

RN

，
得（x₀-x₁，y₀-y₁）=-λ（x₂-x₀，y₂-y₀），
∴x₀-x₁=-λ（x₂-x₀），
解得x0=

x1-λx2

1-λ

=

x1+ x1+4 x2+4 •x2

1+ x1+4 x2+4

=

2x1x2+4(x1+x2)

(x1+x2)+8

，
而2x₁x₂+4（x₁+x₂）=2×

64k2-4

1+4k2

+4×

-32k2

1+4k2

=-

8

1+4k2

，
(x1+x2)+8=

-32k2

1+4k2

+8=

8

1+4k2

，
∴x0=

- 8 1+4k2

8 1+4k2

=-1，
故點R在定直線x=-1上．

點評：本題考查了橢圓的定義、標準方程及其性質、直線與橢圓相交問題、根與系數(shù)的關系、向量的運算性質等基礎知識與基本技能，考查了分類討論的思想方法、推理能力和計算能力．