Question

（2012•張掖模擬）已知{b_n}是公比大于1的等比數(shù)列，它的前n項(xiàng)和為S_n，若S₃=14，b₁+8，3b₂，b₃+6成等差數(shù)列，且a₁=1，a_n=b_n•（

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn-1

）（n≥2）．
（1）求b_n；
（2）證明：（1+

1

a1

）（1+

2

a2

）…（1+

n

an

）＜e³（其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．

Answer 1

分析：（1）利用S₃=14，b₁+8，3b₂，b₃+6成等差數(shù)列，求出公比與首項(xiàng)，即可得出通項(xiàng)公式；
（2）由題意，要證明：（1+

1

a1

）（1+

2

a2

）…（1+

n

an

）＜e³，只需證ln2+ln（1+

2

22-2

）+…+ln（1+

n

2n-2

）＜3．令f（x）=ln（1+x）-x（x＞0），證明ln（1+x）＜x，進(jìn)而只要證明ln2+ln（1+

2

22-2

）+…+ln（1+

n

2n-2

）＜ln2+

2

2

+…+

n

2n-1

，利用錯(cuò)位相減法求和，即可得到結(jié)論．

解答：（1）解：∵S₃=14，b₁+8，3b₂，b₃+6成等差數(shù)列，
∴

b1(1+q+q2)=14 6b1q=b1+b1q2+14

∴2q²-5q+2=0
∴q=2或q=

1

2

∵q＞1
∴q=2，∴b₁=2
∴b_n=2ⁿ；
（2）證明：當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=b_n•（

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn-1

）=2ⁿ-2
∴1+

n

an

=1+

n

2n-2

．
要證明：（1+

1

a1

）（1+

2

a2

）…（1+

n

an

）＜e³，
只需證ln2+ln（1+

2

22-2

）+…+ln（1+

n

2n-2

）＜3．
令f（x）=ln（1+x）-x（x＞0）
則f′（x）=

1

1+x

-1=

-x

1+x

＜0，∴f（x）在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞減，
∵f（0）=0，
∴當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＜0，即ln（1+x）＜x．
從而當(dāng)n≥2時(shí)，ln（1+

n

2n-2

）＜

n

2n-2

＜

n

2n-1

∴l(xiāng)n2+ln（1+

2

22-2

）+…+ln（1+

n

2n-2

）＜ln2+

2

2

+…+

n

2n-1

令T_n=

2

2

+

3

22

+…+

n

2n-1

①
∴

1

2

T_n=

2

22

+

3

23

+…+

n

2n

②
①-②得

1

2

T_n=1+

1

22

+…+

1

2n-1

-

n

2n

=

3

2

-

n+2

2n

∴T_n=3-

n+2

2n-1

＜3
∴（1+

1

a1

）（1+

2

a2

）…（1+

n

an

）＜e³．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合應(yīng)用，數(shù)列通項(xiàng)公式的求法，考查不等式的證明，考查分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．