Question

已知二次函數(shù)g（x）對(duì)任意實(shí)數(shù)x都滿足g（x﹣1）+g（1﹣x）=x²﹣2x﹣1，且g（1）=﹣1．令．
（1）求g（x）的表達(dá)式；
（2）若x＞0使f（x）≤0成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（3）設(shè)1＜m≤e，H（x）=f（x）﹣（m+1）x，證明：對(duì)x₁，x₂∈[1，m]，恒有|H（x₁）﹣H（x₂）|＜1．

Answer 1

解：（1）設(shè)g（x）=ax²+bx+c，于是
g（x﹣1）+g（1﹣x）=2a（x﹣1）²+2c=2（x﹣1）²﹣2，
所以
又g（1）=﹣1，則．
所以．
（2）．
當(dāng)m＞0時(shí)，由對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)，f（x）的值域?yàn)镽；
當(dāng)m=0時(shí)，
對(duì)x＞0，f（x）＞0恒成立；
當(dāng)m＜0時(shí)，由
列表：

．
．
所以若x＞0，f（x）＞0恒成立，
則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（﹣e，0]．
故x＞0使f（x）≤0成立，實(shí)數(shù)m的取值范圍（﹣∞，﹣e]∪（0，+∞）．
（3）因?yàn)閷?duì)x∈[1，m]，
，
所以H（x）在[1，m]內(nèi)單調(diào)遞減．
于是．
．
記，則
，
所以函數(shù)在（1，e]是單調(diào)增函數(shù)，
，故命題成立．