Question

已知函數(shù)y=sinx+cosx，給出下列四個(gè)命題：
（1）若x∈[0，

π

2

]，則y∈(0，

2

]；
（2）直線x=-

3π

4

是函數(shù)y=sinx+cosx圖象的一條對(duì)稱軸；
（3）在區(qū)間[

π

4

，

5π

4

]上函數(shù)y=sinx+cosx是減函數(shù)；
（4）函數(shù)y=sinx+cosx的圖象可由y=

2

sinx的圖象向右平移

π

4

個(gè)單位而得到．其中正確命題的序號(hào)是

（2）（3）

．

Answer 1

分析：根據(jù)有關(guān)公式化簡(jiǎn)可得：y=

2

sin（x+

π

4

），（1）根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)可得：y∈[1，

2

]．（2）當(dāng) x=-

3π

4

時(shí)，函數(shù)y=sinx+cosx有最大值-

2

．（3）由三角函數(shù)的性質(zhì)可得：函數(shù)y=

2

sin（x+

π

4

）的單調(diào)減區(qū)間為：[2kπ+

π

4

，2kπ+

5π

4

]，k∈Z．（4）函數(shù)y=

2

sinx的圖象向右平移

π

4

個(gè)單位得到函數(shù)y=

2

sin（x-

π

4

）的圖象．

解答：解：由題意可得：函數(shù)y=sinx+cosx=

2

sin（x+

π

4

），
因?yàn)閤∈[0，

π

2

]，所以根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)可得：y∈[1，

2

]，所以（1）錯(cuò)誤；
當(dāng) x=-

3π

4

時(shí)，函數(shù)y=sinx+cosx有最大值-

2

，所以x=-

3π

4

是函數(shù)y=sinx+cosx圖象的一條對(duì)稱軸，所以（2）正確；
由三角函數(shù)的性質(zhì)可得：函數(shù)y=

2

sin（x+

π

4

）的單調(diào)減區(qū)間為：[2kπ+

π

4

，2kπ+

5π

4

]，k∈Z，
所以在區(qū)間 [

π

4

，

5π

4

]上函數(shù)y=sinx+cosx是減函數(shù)，所以（3）正確；
函數(shù)y=

2

sinx的圖象向右平移

π

4

個(gè)單位得到函數(shù)y=

2

sin（x-

π

4

）的圖象，所以（4）錯(cuò)誤．
故答案為：（2）（3）．

點(diǎn)評(píng)：解決此類問題的關(guān)鍵是熟練掌握函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的性質(zhì)與函數(shù)圖象的平移變換，以及正弦函數(shù)的定義域和值域，正弦函數(shù)的單調(diào)性，正弦函數(shù)的對(duì)稱性，考查學(xué)生的分析問題解決問題的能力，是基礎(chǔ)題．