Question

已知函數(shù)y=sinx+cosx，y=2

2

sinxcosx，則下列結(jié)論中，正確的序號(hào)是

③

．
①兩函數(shù)的圖象均關(guān)于點(diǎn)（-

π

4

，0）成中心對(duì)稱；
②兩函數(shù)的圖象均關(guān)于直線x=-

π

4

成軸對(duì)稱；
③兩函數(shù)在區(qū)間（-

π

4

，

π

4

）上都是單調(diào)增函數(shù)； 
④兩函數(shù)的最小正周期相同．

Answer 1

分析：先化簡(jiǎn)函數(shù)，再利用中心對(duì)稱、軸對(duì)稱的判斷方法判斷，可得①②的正確性；利用三角函數(shù)的單調(diào)性與周期性，可知③④的周期性．

解答：解：由題意y=sinx+cosx=

2

sin(x+

π

4

)，y=2

2

sinxcosx=

2

sin2x
①x=-

π

4

時(shí)，

2

sin(x+

π

4

)=0，圖象關(guān)于點(diǎn)（-

π

4

，0）成中心對(duì)稱；x=-

π

4

時(shí)，

2

sin2x=-

2

，圖象不關(guān)于點(diǎn)（-

π

4

，0）成中心對(duì)稱，故①不正確；
②由①知，函數(shù)y=sinx+cosx的圖象不關(guān)于直線x=-

π

4

成軸對(duì)稱；y=2

2

sinxcosx的圖象均關(guān)于直線x=-

π

4

成軸對(duì)稱，故②不正確；
③x∈（-

π

4

，

π

4

）時(shí)，x+

π

4

∈(0，

π

2

)，函數(shù)y=

2

sin(x+

π

4

)單調(diào)遞增；x∈（-

π

4

，

π

4

）時(shí)，2x∈(-

π

2

，

π

2

)，函數(shù)y=2

2

sinxcosx在區(qū)間（-

π

4

，

π

4

）上都是單調(diào)增函數(shù)，故③正確；
④y=sinx+cosx=

2

sin(x+

π

4

)的周期為2π，y=2

2

sinxcosx=

2

sin2x的周期為π，故④不正確
故答案為③

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)，考查三角函數(shù)的性質(zhì)，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．