Question

19．已知拋物線y²=2px（p＞0）上一點(diǎn)M（1，y）到焦點(diǎn)F的距離為$\frac{17}{16}$．
（1）求p的值；
（2）若圓（x-a）²+y²=1與拋物線C有公共點(diǎn)，結(jié)合圖形求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)拋物線的定義可知該點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為$\frac{17}{16}$，進(jìn)而利用拋物線方程求得其準(zhǔn)線方程，利用點(diǎn)到直線的距離求得p；
（2）分類討論，借助于判別式，即可得出結(jié)論．

解答 解：∵拋物線y²=2px（p＞0）上的一點(diǎn)M（1，y）到焦點(diǎn)F的距離為$\frac{17}{16}$，
∴該點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為$\frac{17}{16}$，
∴1+$\frac{p}{2}$=$\frac{17}{16}$，求得p=$\frac{1}{8}$．
（2）圓心在x的負(fù)半軸時(shí)，圓（x-a）²+y²=1與拋物線C有公共點(diǎn)，則a≥-1；
圓心在x的正半軸時(shí)，由（1）的方程與（x-a）²+y²=1聯(lián)立，可得4x²+（1-8a）x+4a²-4=0有實(shí)數(shù)根，
則△=（1-8a）²-16（4a²-4）≥0，
解得a≤$\frac{65}{16}$，
綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍為[-1，$\frac{65}{16}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓與拋物線的位置關(guān)系，考查學(xué)生分析轉(zhuǎn)化問題的能力，考查計(jì)算能力，正確合理轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵．