Question

函數(shù)f（x）=e^x在x=2x_n處的切線與x軸交于點(diǎn)（x_n+1，0），其中n∈N^*，若x₁=

3

2

，則數(shù)列（x_n）的前n項(xiàng)和S_n=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：先利用導(dǎo)數(shù)求出切線的斜率，從而求出切線方程，然后根據(jù)切線與x軸的交點(diǎn)為（x_n+1，0），可得x_n+1與x_n的關(guān)系，再利用等差數(shù)列的求和公式求解即可．

解答： 解：由題可得f′（x）=e^x，
所以曲線y=f（x）在點(diǎn)（2x_n，f（2x_n））處的切線方程是：y-f（2x_n）=f′（2x_n）（x-2x_n）．
即y-e2xn=e2xn（x-x_n）．
令y=0，得-e2xn=e2xn（x_n+1-x_n）．
即x_n+1-x_n=-1．
∵x₁=

3

2

，
∴S_n=

3

2

n-

n(n-1)

2

=

4n-n2

2

．
故答案為：

4n-n2

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線在某點(diǎn)處的切線，以及導(dǎo)數(shù)的幾何意義，同時(shí)考查了運(yùn)算求解的能力和分析問題的能力，屬于基礎(chǔ)題．