Question

斜三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，底面是邊長為4 cm的正三角形，側棱AA₁與底面兩邊AB、AC均成60°的角，AA₁＝7

(1)求證：AA₁⊥BC；

(2)求斜三棱柱ABC－A₁B₁C₁的全面積；

(3)求斜三棱柱ABC－A₁B₁C₁的體積；

(4)求AA₁到側面BB₁C₁C的距離．

Answer 1

答案：
解析：

　　解析：設A₁在平面ABC上的射影為0

　　∵∠A₁AB＝∠A₁AC

　　∴O在∠BAC的平行線AM上

　　∵△ABC為正三角形

　　∴AM⊥BC

　　又AM為A₁A在平面ABC上的射影

　　∴A₁A⊥BC

　　(2)

　　∵B₁B∥A₁A

　　∴B₁B⊥BC，即側面BB₁C₁C為矩形

　　∴

　　又

　　∴S_全＝

　　(3)∵cos∠A₁AB＝cos∠A₁AO·cos∠OAB

　　∴cos∠A₁AO＝

　　∴sin∠A₁AO＝

　　∴A₁O＝A₁Asin∠A₁AO＝

　　∴

　　(4)把線A₁A到側面BB₁C₁C的距離轉化為點A或A₁到平面BB₁C₁C的距離

　　為了找到A₁在側面BB₁C₁C上的射影，首先要找到側面BB₁C₁C的垂面

　　設平面AA₁M交側面BB₁C₁C于MM₁

　　∵BC⊥AM，BC⊥A₁A

　　∴BC⊥平面AA₁M₁M

　　∴平面AA₁M₁M⊥側面BCC₁B₁

　　在平行四邊形AA₁M₁M中

　　過A₁作A₁H⊥M₁M，H為垂足

　　則A₁H⊥側面BB₁C₁C

　　∴線段A₁H長度就是A₁A到側面BB₁C₁C的距離

　　∴