Question

已知斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁，∠BCA=90°，AC=BC=2，A₁在底面ABC上的射影恰為AC的中點(diǎn)D，又知BA₁⊥AC₁．
（Ⅰ）求證：AC₁⊥平面A₁BC；
（Ⅱ）求CC₁到平面A₁AB的距離；
（Ⅲ）求二面角A-A₁B-C的大�。�

Answer 1

分析：（I）欲證AC₁⊥平面A₁BC，根據(jù)直線與平面垂直的判定定理可知只需證AC₁與平面A₁BC內(nèi)兩相交直線垂直，BC⊥AC₁，又BA₁⊥AC₁，滿足定理?xiàng)l件；
（II）取AA₁中點(diǎn)F，則AA₁⊥平面BCF，從而面A₁AB⊥面BCF，過C作CH⊥BF于H，則CH⊥面A₁AB，從而CH就是CC₁到平面A₁AB的距離，在Rt△BCF中，求出CH即可；
（III）過H作HG⊥A₁B于G，連CG，根據(jù)二面角平面角的定義知∠CGH為二面角A-A₁B-C的平面角，在Rt△CGH中求出此角的正弦值即可．

解答：（I）證明：因?yàn)锳₁D⊥平面ABC，所以平面AA₁C₁C⊥平面ABC，
又BC⊥AC，所以BC⊥平面AA₁C₁C，
得BC⊥AC₁，又BA₁⊥AC₁
所以AC₁⊥平面A₁BC；（4分）

（II）解：因?yàn)锳C₁⊥A₁C，所以四邊形AA₁C₁C為菱形，
故AA₁=AC=2，又D為AC中點(diǎn)，知∠A₁AC=60°．
取AA₁中點(diǎn)F，則AA₁⊥平面BCF，從而面A₁AB⊥面BCF，
過C作CH⊥BF于H，則CH⊥面A₁AB，
在Rt△BCF中，BC=2，CF=

3

，故CH=

2 21

7

，
即CC₁到平面A₁AB的距離為CH=

2 21

7

（9分）
（III）解：過H作HG⊥A₁B于G，連CG，則CG⊥A₁B，
從而∠CGH為二面角A-A₁B-C的平面角，
在Rt△A₁BC中，A₁C=BC=2，所以CG=

2

，
在Rt△CGH中，sin∠CGH=

CH

CG

=

42

7

，
故二面角A-A₁B-C的大小為arcsin

42

7

．（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線與平面垂直的判定，以及二面角及其度量和點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算，考查空間想象能力、運(yùn)算能力和推理論證能力，屬于基礎(chǔ)題．