Question

已知實數(shù)x，y滿足線性約束條件

x≥0 y≤x 2x+y+k≤0

，其中 k＜0且為常數(shù)．
（1）若z=x+3y的最大值為8，則k=

 

；
（2）在（1）的條件下，設(shè)P（x，y）為相應(yīng)的可行域中任意一點，則滿足“x²+y²≤4”的概率為

 

．

Answer 1

考點：簡單線性規(guī)劃

專題：不等式的解法及應(yīng)用,概率與統(tǒng)計

分析：（1）作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，利用z=x+3y的最大值為8，確定最優(yōu)解，建立方程，即可得到結(jié)論．
（2）根據(jù)幾何概型的概率公式即可得到結(jié)論．

解答： 解：（1）作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖：
由z=x+3y的最大值為8得，x+3y=8，
則對應(yīng)的平面區(qū)域在直線x+3y=8的下方，
由

y=x x+3y=8

，解得

x=2 y=2

，
即A（2，2），此時點A也在直線2x+y+k=0上，
即4+2+k=0，
解得k=--6．
（2）由（1）知B（3，0），則三角形OAB的面積S=

1

2

×3×2=3，
滿足x²+y²≤4的區(qū)域面積為

1

8

×π×22=

π

2

，
則滿足“x²+y²≤4的概率P=

π 2

3

=

π

6

故答案為：-6，

π

6

點評：本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用以及幾何概型的概率的計算，利用數(shù)形結(jié)合先確定最優(yōu)解是解決本題的關(guān)鍵．