Question

設(shè)函數(shù)f（x）=|x-

4

m

|+|x+m|（m＞0）
（1）證明：f（x）≥4；
（2）若f（2）＞5，求m的取值范圍．

Answer 1

考點：帶絕對值的函數(shù)

專題：計算題,證明題,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）運用絕對值不等式的性質(zhì)：絕對值的和不小于差的絕對值，利用基本不等式即可證得結(jié)論．
（2）若f（2）＞5，即|2-

4

m

|+|2+m|＞5，即有|2-

4

m

|＞3-m，即2-

4

m

＞3-m或2-

4

m

＜m-3．轉(zhuǎn)化為二次不等式，解出即可，注意m＞0．

解答： （1）證明：∵f（x）=|x-

4

m

|+|x+m|≥|（x-

4

m

）-（x+m）|
=|-

m

4

-m|=

4

m

+m（m＞0）
又m＞0，則

4

m

+m≥4，當(dāng)且僅當(dāng)m=2取最小值4．
∴f（x）≥4；
（2）解：若f（2）＞5，即|2-

4

m

|+|2+m|＞5，
即有|2-

4

m

|＞3-m，
即2-

4

m

＞3-m或2-

4

m

＜m-3．
由于m＞0，則m²-m-4＞0或m²-5m+4＞0，
解得m＞

1+ 17

2

或m＞4或0＜m＜1．
故m的取值范圍是（

1+ 17

2

，+∞）∪（0，1）．

點評：本題考查絕對值函數(shù)的最值，注意去絕對值的方法，考查基本不等式的運用，以及絕對值不等式的解法和二次不等式的解法，屬于中檔題．