Question

已知橢圓具有性質(zhì)：若是橢圓：且為常數(shù)上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓上的任意一點(diǎn)，若直線(xiàn)和的斜率都存在，并分別記為，，那么與之積是與點(diǎn)位置無(wú)關(guān)的定值．

試對(duì)雙曲線(xiàn)且為常數(shù)寫(xiě)出類(lèi)似的性質(zhì)，并加以證明．

 

Answer 1

【答案】

雙曲線(xiàn)類(lèi)似的性質(zhì)為：若是雙曲線(xiàn)且為常數(shù)上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn)，點(diǎn)是雙曲線(xiàn)上的任意一點(diǎn)，若直線(xiàn)和的斜率都存在，并分別記為，，那么與之積是與點(diǎn)位置無(wú)關(guān)的定值．

【解析】

試題分析：雙曲線(xiàn)類(lèi)似的性質(zhì)為：若是雙曲線(xiàn)且為常數(shù)上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn)，點(diǎn)是雙曲線(xiàn)上的任意一點(diǎn)，若直線(xiàn)和的斜率都存在，并分別記為，，那么與之積是與點(diǎn)位置無(wú)關(guān)的定值．

證明：設(shè)，，則，

且①，②，

兩式相減得：，

所以是與點(diǎn)位置無(wú)關(guān)的定值．

考點(diǎn)：本題主要考查雙曲線(xiàn)的幾何性質(zhì)，直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)、橢圓的位置關(guān)系。

點(diǎn)評(píng)：中檔題，曲線(xiàn)關(guān)系問(wèn)題，往往通過(guò)聯(lián)立方程組，得到一元二次方程，運(yùn)用韋達(dá)定理。本題主要運(yùn)用雙曲線(xiàn)的幾何性質(zhì)。（2）作為研究直線(xiàn)的斜率乘積是否為定值問(wèn)題，應(yīng)用韋達(dá)定理，通過(guò)“整體代換”，簡(jiǎn)化了探究過(guò)程。