Question

已知橢圓具有性質(zhì)：若A，B是橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0且a，b為常數(shù)）上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，點(diǎn)P是橢圓上的任意一點(diǎn)，若直線PA和PB的斜率都存在，并分別記為k_PA，k_PB，那么k_PA與k_PB之積是與點(diǎn)P位置無關(guān)的定值-

b2

a2

．試對(duì)雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0且a，b為常數(shù)）寫出類似的性質(zhì)，并加以證明．

Answer 1

分析：由橢圓到雙曲線進(jìn)行類比，不難寫出關(guān)于雙曲線的結(jié)論：k_PA•k_PB=

b2

a2

，其中點(diǎn)A、B是雙曲線上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱
的兩點(diǎn)，P是雙曲線上的任意一點(diǎn)．然后設(shè)出點(diǎn)P、A、B的坐標(biāo)，代入雙曲線方程并作差，變形整理即可得到kPA•kPB=

b2

a2

是與點(diǎn)P位置無關(guān)的定值．

解答：解：雙曲線類似的性質(zhì)為：
若A，B是雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0且a，b為常數(shù)）上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，點(diǎn)P是雙曲線上的任意一點(diǎn)，若直線PA和PB的斜率都存在，并分別記為k_PA，k_PB，那么k_PA與k_PB之積是與點(diǎn)P位置無關(guān)的定值

b2

a2

．
證明：設(shè)P（x₀，y₀），A（x₁，y₁），則B（-x₁，-y₁），
且

x 2 0

a2

-

y 2 0

b2

=1①，

x 2 1

a2

-

y 2 1

b2

=1②，
兩式相減得：b2(

x

2 0

-

x

2 1

)-a2(

y

2 0

-

y

2 1

)=0，
∴kPA•kPB=

y0-y1

x0-x1

•

y0+y1

x0+x1

=

y 2 0 - y 2 1

x 2 0 - x 2 1

=

b2

a2

即kPA•kPB=

b2

a2

，是與點(diǎn)P位置無關(guān)的定值．

點(diǎn)評(píng)：本題給出橢圓上的點(diǎn)滿足的性質(zhì)，求一個(gè)關(guān)于雙曲線的類似性質(zhì)并加以證明．著重考查了橢圓、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)等知識(shí)，屬于中檔題．