Question

函數(shù)y=f（x）是定義在R上的增函數(shù)，函數(shù)y=f（x-2010）的圖象關(guān)于點（2010，0）對稱．若實數(shù)x，y滿足不等式f（x²-6x）+f（y²-8y+24）＜0，則x²+y²的取值范圍是（ ）
A．（0，16）
B．（0，36）
C．（16，36）
D．（0，+∞）

Answer 1

【答案】分析：本題考查的是函數(shù)的性質(zhì)及其綜合應(yīng)用，由已知條件我們可以判定函數(shù)y=f（x）是定義在R上的增函數(shù)，而且是奇函數(shù)，則不難求出滿足條件實數(shù)x，y滿足不等式f（x²-6x）+f（y²-8y+24）＜0，對應(yīng)的平面區(qū)域，分析表達式x²+y²的幾何意義，找出滿足條件的點的坐標(biāo)，即可求出答案．
解答：解：∵函數(shù)y=f（x-2010）的圖象關(guān)于點（2010，0）對稱
∴函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于點（0，0）對稱
即函數(shù)y=f（x）為奇函數(shù)，
則f（-x）=-f（x）
則不等式f（x²-6x）+f（y²-8y+24）＜0可化為：
f（x²-6x）＜-f（y²-8y+24）=f（-y²+8y-24）
又由函數(shù)y=f（x）是定義在R上的增函數(shù)
∴x²-6x＜-y²+8y-24
即x²-6x+y²-8y+24＜0
即（x-3）²+（y-4）²＜1
則（x，y）點在以（3，4）為圓心，以1為半徑的圓內(nèi)
而x²+y²表示的是圓內(nèi)任一點到原點距離的平方
∴（5-1）²=16＜x²+y²＜（5+1）²=36
故選C
點評：函數(shù)的性質(zhì)與圓的方程都是高考必須要考的知識點，此題巧妙地將函數(shù)的性質(zhì)與圓的方程融合在一起進行考查，題目有一定的思維含量但計算量不大，所以題型設(shè)置為選擇題，該試題立足基礎(chǔ)考查了學(xué)生思維能力與運算能力以及靈活運用所學(xué)數(shù)學(xué)知識處理相關(guān)問題的能力，有一定的選拔作用同時對中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)具有產(chǎn)生較好地導(dǎo)向作用．