Question

如圖，ABCD-A₁B₁C₁D₁為正方體，下面結(jié)論中正確的是

 

．
①BD∥平面CB₁D₁；
②AC₁⊥平面CB₁D₁；
③AC₁與底面ABCD所成角的正切值是

2

；
④CB₁與BD為異面直線．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱的結(jié)構(gòu)特征

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：根據(jù)直線和平面平行、直線和平面垂直的判定定理可得①②正確，根據(jù)求二面角的大小的方法可得③不正確，根據(jù)異面直線定義可得④正確，由此得到答案．

解答： 解：如圖，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁ 中，
由于BD∥B₁D₁ ，由直線和平面平行的判定定理可得BD∥平面CB₁D₁ ，故①正確；
由正方體的性質(zhì)可得B₁D₁⊥A₁C₁，CC₁⊥B₁D₁，
故B₁D₁⊥平面 ACC₁A₁，故 B₁D₁⊥AC₁．
同理可得 B₁C⊥AC₁．
再根據(jù)直線和平面垂直的判定定理可得，AC₁⊥平面CB₁D₁ ，故②正確；
AC₁與底面ABCD所成角的正切值為

CC1

AC

=

1

2

，故③不正確；
CB₁與BD既不相交，又不平行，不同在任何一個(gè)平面內(nèi)，
故CB₁與BD為異面直線，故④正確．
故答案為：①②④．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查求二面角的大小的方法，異面直線的判定，直線和平面平行、垂直的判定定理的應(yīng)用，屬于中檔題．