Question

設(shè)角α的終邊在第一象限，函數(shù)f（x）的定義域為[0，1]，且f（0）=0，f（1）=1，當(dāng)x≥y時，有f（

x+y

2

）=f（x）sinα+（1-sinα）f（y），則使等式f（

1

4

）=

1

4

成立的α的集合為

 

．

Answer 1

考點：基本不等式

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,三角函數(shù)的求值

分析：令x=

1

2

，y=0，可得f(

1

4

)=f(

1

2

)sinα+(1-sinα)f(0)；再令x=1，y=0，則f(

1

2

)=f(1)sinα+(1-sinα)f(0)，利用f（0）=0，f（1）=1，f(

1

4

)=

1

4

，即可得出．

解答： 解：令x=

1

2

，y=0，則f(

1

4

)=f(

1

2

)sinα+(1-sinα)f(0)，
再令x=1，y=0，則f(

1

2

)=f(1)sinα+(1-sinα)f(0)，
∵f（0）=0，f（1）=1，f(

1

4

)=

1

4

，
∴

1

4

=sin²α，
∵角α的終邊在第一象限，
∴

1

2

=sinα，∴α=

π

6

+2kπ(k∈Z)．
∴使等式f（

1

2

）=

1

2

成立的α的集合為{α|α=2kπ+

π

6

，k∈Z}．
故答案為：{α|α=2kπ+

π

6

，k∈Z}；

點評：本題考查了函數(shù)的性質(zhì)、三角函數(shù)的求值，屬于中檔題．