已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的焦點分別是F1，F(xiàn)2，點M(1 ，
3
2
)在橢圓上，且|MF1|+|MF2|=4．
（Ⅰ）求橢圓C的標準方程；
（Ⅱ）若直線l：y=kx+t（k≠0，t＞0）與橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1交于A，B兩點，點P滿足
AP
+
BP
=
0
，點Q的坐標是(0 ，
3
2
)，設直線PQ的斜率是k1，且k1•k=2，求實數(shù)t的取值范圍．
分析：（Ⅰ）利用點M(1 ，
3
2
)在橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)上，且|MF1|+|MF2|=4，可求橢圓的幾何量，從而可得橢圓C的標準方程；
（Ⅱ）聯(lián)立方程組，利用韋達定理，及向量知識，結(jié)合k1•k=2，建立不等式，即可求得實數(shù)t的取值范圍．
解答：解：（Ⅰ）因為點M(1 ，
3
2
)在橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)上，且|MF1|+|MF2|=4，
所以
1
a2
+
3
4b2
=1，2a=4．
所以a2=4，b2=1．
所以橢圓C的標準方程是
x2
4
+y2=1．…..（3分）
（Ⅱ）聯(lián)立方程組
y=kx+t 
x2
4
+y2=1 
消去y，得（1+4k2）x2+8ktx+4（t2-1）=0．
所以△=64k2t2-16（1+4k2）（t2-1）＞0，…..（4分）
即1+4k2＞t2．①…..（5分）
設A（x1，y1），B（x2，y2），所以x1+x2=
-8kt
1+4k2
．…..（6分）
因為
AP
+
BP
=
0
，所以點P是AB的中點，
設P（xP，yP），所以xp=
-4kt
1+4k2
，yp=kxP+t=
1
1+4k2
．…..（8分）
因為點Q的坐標是(0 ，
3
2
)，直線PQ的斜率是k1，
所以k1=
yP-
3
2
xP
=
2t-3(1+4k2)
-8kt
．…..（10分）
因為k1•k=2，所以k•
2t-3(1+4k2)
-8kt
=2．
所以1+4k2=6t．②…..（12分）
所以由①，②式，可得  6t＞t2且6t＞1．
所以1＜t＜6．
所以實數(shù)t的取值范圍是1＜t＜6．…..（14分）
點評：本題考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查向量知識的運用，考查韋達定理，考查學生的計算能力，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為
1
2
，且經(jīng)過點P(1，
3
2
)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設F是橢圓C的左焦，判斷以PF為直徑的圓與以橢圓長軸為直徑的圓的位置關系，并說明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的短軸長為2
3
，右焦點F與拋物線y2=4x的焦點重合，O為坐標原點．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設A、B是橢圓C上的不同兩點，點D（-4，0），且滿足
DA
=λ
DB
，若λ∈[
3
8
，
1
2
]，求直線AB的斜率的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）經(jīng)過點A（1，
3
2
），且離心率e=
3
2
．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過點B（-1，0）能否作出直線l，使l與橢圓C交于M、N兩點，且以MN為直徑的圓經(jīng)過坐標原點O．若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•房山區(qū)二模）已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的長軸長是4，離心率為
1
2
．
（Ⅰ）求橢圓方程；
（Ⅱ）設過點P（0，-2）的直線l交橢圓于M，N兩點，且M，N不與橢圓的頂點重合，若以MN為直徑的圓過橢圓C的右頂點A，求直線l的方程．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的短軸長為2，離心率為
2
2
，設過右焦點的直線l與橢圓C交于不同的兩點A，B，過A，B作直線x=2的垂線AP，BQ，垂足分別為P，Q．記λ=
AP+BQ
PQ
，若直線l的斜率k≥
3
，則λ的取值范圍為
 
．

查看答案和解析>>

同步練習冊答案