在△ABC中,角A、B、C所對(duì)邊分別為a,b,c,已知tanA=
1
2
,tanB=
1
3
,且最長(zhǎng)邊的邊長(zhǎng)為1,求:
(1)角C的大小;
(2)△ABC最短邊的長(zhǎng).
分析:(1)由三角形的內(nèi)角和定理得到C=π-(A+B),然后利用兩角和與差的正切函數(shù)公式及誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn),將tanA和tanB的值代入即可求出tanC的值,由C的范圍,利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出C的度數(shù);
(2)根據(jù)正切函數(shù)的單調(diào)性由tanB小于tanA,得到B小于A,即b小于a,由C為鈍角得到最長(zhǎng)的邊為c,最短的邊為b,根據(jù)tanB的值,利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出sinB的值,由sinB,sinC和c的值,利用正弦定理即可求出b的值.
解答:解:(1)tanC=tan[π-(A+B)]
=-tan(A+B)=-
tanA+tanB
1-tanAtanB
=-
1
2
+
1
3
1-
1
2
×
1
3
=-1
,
∵0<C<π,∴C=
4
;
(2)∵0<tanB<tanA,
∴A、B均為銳角,則B<A,
又C為鈍角,∴最短邊為b,最長(zhǎng)邊長(zhǎng)為c,
tanB=
1
3
,解得sinB=
10
10
,
b
sinB
=
c
sinC

b=
c•sinB
sinC
=
10
10
2
2
=
5
5
點(diǎn)評(píng):此題考查學(xué)生靈活運(yùn)用誘導(dǎo)公式及兩角和與差的正切函數(shù)公式化簡(jiǎn)求值,靈活運(yùn)用正弦定理及同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系化簡(jiǎn)求值,是一道中檔題.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

在△ABC中,角A、B、C所對(duì)的邊分別為a,b,c,若b2+c2-a2=
3
bc
,且b=
3
a
,則下列關(guān)系一定不成立的是( 。
A、a=c
B、b=c
C、2a=c
D、a2+b2=c2

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知B=60°,cos(B+C)=-
1114

(1)求cosC的值;
(2)若bcosC+acosB=5,求△ABC的面積.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別是a,b,c,且bsinA=
3
acosB

(1)求角B的大小;
(2)若a=4,c=3,D為BC的中點(diǎn),求△ABC的面積及AD的長(zhǎng)度.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

在△ABC中,角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c并且滿足
b
a
=
sinB
cosA

(1)求∠A的值;
(2)求用角B表示
2
sinB-cosC
,并求它的最大值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

在△ABC中,角A,B,C所對(duì)邊的長(zhǎng)分別為a,b,c,且a=
5
,b=3,sinC=2sinA
,則sinA=
 

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