Question

【題目】如圖，在斜三梭柱ABC﹣A1B1C1中，側(cè)面AA1C1C是菱形，AC1與A1C交于點(diǎn)O，E是棱AB上一點(diǎn)，且OE∥平面BCC1B1
（1）求證：E是AB中點(diǎn)；
（2）若AC1⊥A1B，求證：AC1⊥BC．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連結(jié)BC1，取AB中點(diǎn)E′，

∵側(cè)面AA1C1C是菱形，AC1與A1C交于點(diǎn)O，

∴O為AC1的中點(diǎn)，

∵E′是AB的中點(diǎn)，

∴OE′∥BC1；

∵OE′平面BCC1B1，BC1平面BCC1B1，

∴OE′∥平面BCC1B1，

∵OE∥平面BCC1B1，

∴E，E′重合，

∴E是AB中點(diǎn)

（2）證明：∵側(cè)面AA1C1C是菱形，

∴AC1⊥A1C，

∵AC1⊥A1B，A1C∩A1B=A1，A1C平面A1BC，A1B平面A1BC，

∴AC1⊥平面A1BC，

∵BC平面A1BC，

∴AC1⊥BC．

【解析】（1）利用同一法，首先通過連接對角線得到中點(diǎn)，進(jìn)一步利用中位線，得到線線平行，進(jìn)一步利用線面平行的判定定理，得到結(jié)論．（2）利用菱形的對角線互相垂直，進(jìn)一步利用線面垂直的判定定理，得到線面垂直，最后轉(zhuǎn)化成線線垂直．