Question

[已知數(shù)列{a_n}滿足：，a₂=1，數(shù)列為等差數(shù)列；數(shù)列{b_n}中，S_n為其前n項(xiàng)和，且，．
（1）求證：數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列；
（2）記A_n=a_na_n+1，求數(shù)列{A_n}的前n項(xiàng)和S；
（3）設(shè)數(shù)列{c_n}滿足，T_n為數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和，求x_n=T_n+1-2T_n+T_n-1的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)給出的數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和所滿足的等式，求出S_n，然后由求出通項(xiàng)，繼而可說明數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列；
（2）由數(shù)列為等差數(shù)列求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，然后運(yùn)用裂項(xiàng)法求數(shù)列{A_n}的前n項(xiàng)和S；
（3）把a(bǔ)_n，b_n的通項(xiàng)公式代入求c_n，把x_n=T_n+1-2T_n+T_n-1變形后換上c_n，得到關(guān)于n的函數(shù)式，寫出X_n+1，與X_n作差后分析差式的單調(diào)性，從而得到X_n的最大值．
解答：解：（1）由得，，當(dāng)n≥2時(shí)，，又，故，故數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列；
（2）∵，∴，，∴d==3，∴，則，
∴，
∴；
（3）∵
∴，
，
故當(dāng)n≤7時(shí)，{x_n}是遞減的，當(dāng)n≥8時(shí)，{x_n}是遞增的，但n≥8時(shí)，x_n＜0
故x_n的最大值為．
點(diǎn)評(píng)：本題是等差數(shù)列和等比數(shù)列的綜合題，考查了裂項(xiàng)法對數(shù)列求和，（3）的解答運(yùn)用函數(shù)思想，借助于函數(shù)的單調(diào)性分析出了函數(shù)取最大值時(shí)的n的值，該題是中檔以上難度題型．