已知函數(shù)f(x)=2cos2(x+
π12
)+sin2x．
（1）若f（α）=1，α∈（0，π），求α的值；
（2）求f（x）的單調(diào)增區(qū)間．
分析：利用二倍角余弦公式及和差角公式把已知化簡可得，f（x）=sin(2x+
π
3
)+1①
（1）把α代入①可得sin(2α+
π
3
)=0結(jié)合α的范圍可求α的值．
（2）結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間及復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，令-
π
2
+2kπ≤2x+
π
3
≤
π
2
+ 2kπ(k∈Z)，解出 x的區(qū)間即為函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間．
解答：解：f(x)=1+cos(2x+
π
6
)+sin2x（2分）
=1+cos2xcos
π
6
-sin2xsin
π
6
+sin2x
=1+
3
2
cos2x+
1
2
sin2x（4分）
=sin(2x+
π
3
)+1．（6分）

（1）f(α)=sin(2α+
π
3
)+1=1，
∴sin(2α+
π
3
)=0；2α+
π
3
=kπ，α=
kπ
2
-
π
6
（k∈z），
又∵α∈（0，π）∴α=
π
3
或
5π
6
（8分）
（2）f（x）單調(diào)增，故2x+
π
3
∈[2kπ-
π
2
，2kπ+
π
2
]，（10分）
即x∈[kπ-
5π
12
，kπ+
π
12
](k∈Z)，
從而f（x）的單調(diào)增區(qū)間為[kπ-
5π
12
，kπ+
π
12
](k∈Z)．（12分）
點評：利用三角公式對三角函數(shù)化簡，然后借助輔助角公式asinx+bcosx=
a2+b2
sin(x+θ)（其中tanθ=
b
a
）求解三角函數(shù)的問題是歷年高考中使用頻率相當高的，應(yīng)加以關(guān)注，此外降冪公式cos2α=
1+cos2α
2
，sin2α=
1-cos2α
2
也要熟練掌握．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
2-xx+1
；
（1）求出函數(shù)f（x）的對稱中心；
（2）證明：函數(shù)f（x）在（-1，+∞）上為減函數(shù)；
（3）是否存在負數(shù)x0，使得f(x0)=3x0成立，若存在求出x0；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
2-x-1，x≤0
x
，x＞0
，則f[f（-2）]=
3
3
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=2(sin2x+
3
2
)cosx-sin3x
（1）求函數(shù)f（x）的值域和最小正周期；
（2）當x∈[0，2π]時，求使f(x)=
3
成立的x的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=2-
ax+1
(a∈R)的圖象過點（4，-1）
（1）求a的值；
（2）求證：f（x）在其定義域上有且只有一個零點；
（3）若f（x）+mx＞1對一切的正實數(shù)x均成立，求實數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
2-2cosx
+
2-2cos(
2π
3
-x)
，x∈[0，2π]，則當x=
4π
3
4π
3
時，函數(shù)f（x）有最大值，最大值為
2
3
2
3
．

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