Question

若直線mx+ny=4和圓：x²+y²=4沒有公共點(diǎn)，則過點(diǎn)（m，n）直線與橢圓

x2

5

+

y2

4

=1的交點(diǎn)的個數(shù)（　�。�

A．0 個

B．1個

C．2 個

D．3個

Answer 1

分析：由直線mx+ny=4和圓x²+y²=4沒有公共點(diǎn)，得到點(diǎn)P（m，n）是x²+y²=4圓內(nèi)的點(diǎn)．進(jìn)而得到點(diǎn)P是橢圓

x2

5

+

y2

4

=1內(nèi)的點(diǎn)，由此能求出過點(diǎn)P（m，n）的一條直線與橢圓的公共點(diǎn)數(shù)．

解答：解：∵直線mx+ny=4和圓x²+y²=4沒有公共點(diǎn)，
∴原點(diǎn)到直線mx+ny-4=0的距離d=

|0+0-4|

m2+n2

＞2，
解得m²+n²＜4，
∴點(diǎn)P（m，n）是x²+y²=4圓內(nèi)的點(diǎn)．
∵橢圓

x2

5

+

y2

4

=1的長半軸2

5

，短半軸為 2
∴圓x²+y²=4內(nèi)切于橢圓，
∴點(diǎn)P是橢圓

x2

5

+

y2

4

=1內(nèi)的點(diǎn)，
∴過點(diǎn)P（m，n）的一條直線與橢圓的公共點(diǎn)數(shù)為2．
故選C．

點(diǎn)評：本題考查直線與橢圓的交點(diǎn)個數(shù)的求法，具體涉及到圓的簡單性質(zhì)、點(diǎn)到直線的距離公式、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系、點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系，解題時要認(rèn)真審題，注意等價轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用．