(本小題滿分12分)在四棱錐中,
平面
,底面
為矩形,
.
(Ⅰ)當(dāng)時,求證:
;
(Ⅱ)若邊上有且只有一個點
,使得
,求此時二面角
的余弦值.
(Ⅰ)見解析 ; (Ⅱ) 。
【解析】本試題主要是考查了空間立體幾何中線線垂直和二面角的求解的綜合運用。
(1)因為線線垂直的證明關(guān)鍵是找到線面垂直,利用線面垂直的性質(zhì)定理得到線線垂直。
(2)建立合理的空間直角坐標(biāo)系,表示出平面的法向量,利用法向量的夾角來表示二面角的平面角的大小。
解: (Ⅰ)當(dāng)時,底面
為正方形,
又因為,
面
…………………………2分
又面
…………………………3分
(Ⅱ) 因為兩兩垂直,分別以它們所在直線
為軸、
軸、
軸建立坐標(biāo)系,如圖所示,
則…………………4分
設(shè),則
要使,只要
所以,即
………6分
由此可知時,存在點
使得
當(dāng)且僅當(dāng),即
時,
邊上有且只有一個點
,使得
由此可知…………………………8分設(shè)面
的法向量
則即
解得
…………………………10分
取平面的法向量
則的大小與二面角
的大小相等所以
因此二面角的余弦值為
…………………………12分
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
3 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
ON |
ON |
5 |
OM |
OT |
M1M |
N1N |
OP |
OA |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
(2009湖南卷文)(本小題滿分12分)
為拉動經(jīng)濟增長,某市決定新建一批重點工程,分別為基礎(chǔ)設(shè)施工程、民生工程和產(chǎn)業(yè)建設(shè)工程三類,這三類工程所含項目的個數(shù)分別占總數(shù)的、
、
.現(xiàn)有3名工人獨立地從中任選一個項目參與建設(shè).求:
(I)他們選擇的項目所屬類別互不相同的概率; w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
(II)至少有1人選擇的項目屬于民生工程的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
(本小題滿分12分)
某民營企業(yè)生產(chǎn)A,B兩種產(chǎn)品,根據(jù)市場調(diào)查和預(yù)測,A產(chǎn)品的利潤與投資成正比,其關(guān)系如圖1,B產(chǎn)品的利潤與投資的算術(shù)平方根成正比,其關(guān)系如圖2,
(注:利潤與投資單位是萬元)
(1)分別將A,B兩種產(chǎn)品的利潤表示為投資的函數(shù),并寫出它們的函數(shù)關(guān)系式.(2)該企業(yè)已籌集到10萬元資金,并全部投入到A,B兩種產(chǎn)品的生產(chǎn),問:怎樣分配這10萬元投資,才能使企業(yè)獲得最大利潤,其最大利潤為多少萬元.
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