Question

求下列函數(shù)的值域:

(1)y=|x|-1,x∈{-2,-1,0,1,2};(2)y=x²+4x+3,(-3≤x≤1)；

(3)y=；(4)y=2x-3+;(5)y=.

Answer 1

解析：求函數(shù)的值域應(yīng)確定相應(yīng)的定義域后再根據(jù)函數(shù)的具體形式及運算確定其值域.（1）本例解析較簡單，故可用“直接法”根據(jù)定義域及對應(yīng)法則得到該函數(shù)的值域.(2) 對于二次函數(shù)值域的求法，常采用配方法或作出二次函數(shù)的圖象求得.(3)對于形如y=（a≠0）型函數(shù)值域的求法，常借助反比例函數(shù)y=(k≠0)的值域解決.(4) 沒有給定自變量的取值范圍，應(yīng)先考查函數(shù)的定義域，再求其值域.對于形如y=ax+b±（a,b,c,d為常數(shù)，且ac≠0)的函數(shù)值域的求法,常借用整體思想利用“換元法”求值域.(5) 形如y=型的函數(shù)，由于任一函數(shù)的定義域都不可能是空集，所以可將函數(shù)化為：(ya₂-a₁)x²+(yb₂-b₁)x+yc₂-c₁=0.當ya₂-a₁≠0時，上式是關(guān)于x的一元二次方程，因此該方程的根的判別式Δ≥0，根據(jù)這個不等式可求出函數(shù)的值域，當然ya₂-a₁=0也要考慮.

解:（1）∵x∈{-2,-1,0,1,2}，y=|x|-1，

∴y∈{-1,0,1}.

（2）法一：∵-3≤x≤1，y=x²+4x+3=(x+2)²-1,

∴y∈{y|-1≤y≤8}.

    法二：畫出y=x²+4x+3,(-3≤x≤1)的圖象，

    如圖所示，當x∈{x|-3≤x≤1}時，得y∈{y|0≤y≤8}.

（3）∵ y===2+，由≠0，有 y≠2，

∴函數(shù)的值域為{y|y∈R,且y≠2}.

（4）∵4x-13≥0,∴x≥.令t=，則得x=.

∴y=t²+t+=(t+1)²+3，因為x≥，∴t≥0,因此y≥.

∴函數(shù) y=2x-3+的值域為{y|y≥}.

（5）由y=得x∈R,且可化為 (2y-1)x²+2(y+1)x+(y+3)=0,

∴當 y≠時，Δ=［2(y+1)］²-4(2y-1)(y+3)≥0.

∴y²+3y-4≤0.∴-4≤y≤1且∴y≠.

    又當y=時，代入方程得x=-，滿足條件.

∴函數(shù)y=的值域為{y|-4≤y≤1}.