Question

選修4-5：不等式選講
已知函數(shù)f（x）=|2x+1|，g（x）=|x|+a-1
（1）當a=1，解不等式f（x）≥g（x）；
（2）若存在x∈R，使得f（x）≤g（x）成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）先寫出當a=1時的不等式|2x+1|≥|x|，再利用兩邊平方整理化成一元二次不等式即可解決問題；
（2）先由f（x）≤g（x）分離出參數(shù)a得a-1≥|2x+1|-|x|，令h（x）=|2x+1|-|x|，下面求得h（x）的最小值，從而所求實數(shù)a的范圍．
解答：解：（1）當a=1時，由f（x）≥g（x）得|2x+1|≥|x|，
兩邊平方整理得3x²+4x+1≥0，解得x≤-1或x≥-，
∴原不等式的解集為（-∞，-1]∪[-，+∞）…（5分）
（Ⅱ）由f（x）≤g（x）得a-1≥|2x+1|-|x|，
令h（x）=|2x+1|-|x|，則 h（x）=…（7分）
故h（x）min=h（-）=-，從而所求實數(shù)a的范圍為a-1≥-，即a…（10分）
點評：本題主要考查了絕對值不等式的解法、函數(shù)存在性問題．對于函數(shù)存在性問題，處理的方法是：利用分離參數(shù)法轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題解決．